Mam takie zadania do udowodnienia:
1. Czy
\(\displaystyle{ lin(v_1,v_2,v_3) = lin(v_1, v_1+v_2, v_1 + v_2 + v_3)}\)?
Ja tutaj rozpisałabym dowolny wektor w jako kombinację liniową wektorów z pierwszej powłoki i przyrównała do kombinacji liniowej wekt. z drugiej powłoki, lecz dostaję zbyt wiele niewiadomych by dojść do jakiegoś wniosku. Czy na to zadanie jest jakiś inny sposób?
2. Wykazać, że
\(\displaystyle{ lin(v_1,...,v_s, w ) = lin (v_1,...,v_s) \Leftrightarrow}\)w jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_1,...,v_s.}\)
Skoro wektory\(\displaystyle{ v_1,...,v_s}\) generują całą przestrzeń (z definicji powłoki liniowej) i v_1,...,v_s,w też generują całą przestrzeń to w nie może być zależny z\(\displaystyle{ v_1,...,v_s}\). Nie wiem czy dobrze rozumiem funkcję powłoki liniowej, ale jeśli jest tak jak piszę to nie wiem jak to udowodnić. I nasuwa mi się takie pytanie, czy w powłoce liniowej wszystkie wektory muszą być niezależne?
3. \(\displaystyle{ V_1 i V_2}\)to podprzestrzenie wektorowe. Czy \(\displaystyle{ V_1 \cup V_2}\) i \(\displaystyle{ -V_1}\)są podprzestrzeniami?
Wzięłabym dowolne 2 wektory \(\displaystyle{ u,w \subset V_1 i V_2}\)oraz liczbę\(\displaystyle{ t \in R}\)i udowodniła, że \(\displaystyle{ u+w oraz t \cdot u}\) też należy do sumy podprzestrzeni\(\displaystyle{ V_1 i V_2.}\) Czy to wystarczy? A z \(\displaystyle{ -V_1}\) jak można się uporać?
4. Jeszcze mam takie pytanie, czy w bazie B=(u,w,v) dowolne 2 wektory (np u i w) będą zawsze niezależne? Czy muszą być wszystkie 3 by była niezależność?
Baza wektorów , niezależność
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 12 lis 2007, o 15:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 2 razy
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Baza wektorów , niezależność
prawa strona zawiera się w lewej - to jasne? wystarczy pokazać, że lewa w prawej. ale \(\displaystyle{ v_2\in P}\), bo \(\displaystyle{ v_2=(v_1+v_2)-v_1}\) i analogicznie \(\displaystyle{ v_3\in P}\). stąd lewa zawiera się w prawej.be-girl222 pisze:Mam takie zadania do udowodnienia:
1. Czy
\(\displaystyle{ lin(v_1,v_2,v_3) = lin(v_1, v_1+v_2, v_1 + v_2 + v_3)}\)?
a) załóżmy, że w jest kombinacją i niech \(\displaystyle{ w=\sum \alpha_i v_i}\). oczywiście, prawa strona zawiera się w lewej i wystarczy uzasadnić, że lewa zawiera się w prawej. weźmy wektor \(\displaystyle{ x=\sum \beta_i v_i+\gamma w}\) należący do lewej strony. wtedy oczywiście \(\displaystyle{ x=\sum(\beta_i+\alpha_i)v_i}\) i \(\displaystyle{ x}\) należy do prawej strony.\(\displaystyle{ lin(v_1,...,v_s, w ) = lin (v_1,...,v_s) \Leftrightarrow}\)w jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_1,...,v_s.}\)
b) załóżmy, że prawa strona jest równa lewej. wtedy z definicji powłoki liniowej mamy \(\displaystyle{ w=\sum \alpha_i v_i}\)
nie. przecież powłoką wektorów \(\displaystyle{ (1,0),(0,1)}\) jest całe \(\displaystyle{ R^2}\)I nasuwa mi się takie pytanie, czy w powłoce liniowej wszystkie wektory muszą być niezależne?
na ogół \(\displaystyle{ V_1\cup V_2}\) nie jest podprzestrzenią. przykład: \(\displaystyle{ V_1=\{(x,0)\}\subset R^2}\), \(\displaystyle{ V_2=\{(0,x)\}\subset R^2}\). natomiast zachodzi równość \(\displaystyle{ -V_1=V_1}\).
dowolne dwa są zawsze, skoro są wszystkie trzy.Jeszcze mam takie pytanie, czy w bazie B=(u,w,v) dowolne 2 wektory (np u i w) będą zawsze niezależne? Czy muszą być wszystkie 3 by była niezależność?
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 12 lis 2007, o 15:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 2 razy
Baza wektorów , niezależność
Czyli , by pokazać że 2 powłoki są sobie równe to wystarczy pokazać , że każdy wektor z jednej powłoki da się przedstawić za pomocą sumy wektorów drugiej powłoki? Z czego to wynika?
I czy jak mamy np powłokę liniową złożoną z 2 wektorów z podprzestrzeni V to znaczy że , by wygenerować całą przestrzeń V wystarczą nam te 2 wektory? Nie wiem czy dobrze myślę, co to jest powłoka liniowa.
\(\displaystyle{ V_1=\{(x,0)\}\subset R^2 \cup V_2=\{(0,x)\}\subset R^2}\)
dlaczego w tym wypadku suma tych podprzestrzeni nie jest podprzestrezenią?
Przepraszam za tak podstawowe pytania, dopiero zaczynam przygodę z algebrą liczę na wyrozumiałość...
I czy jak mamy np powłokę liniową złożoną z 2 wektorów z podprzestrzeni V to znaczy że , by wygenerować całą przestrzeń V wystarczą nam te 2 wektory? Nie wiem czy dobrze myślę, co to jest powłoka liniowa.
\(\displaystyle{ V_1=\{(x,0)\}\subset R^2 \cup V_2=\{(0,x)\}\subset R^2}\)
dlaczego w tym wypadku suma tych podprzestrzeni nie jest podprzestrezenią?
Przepraszam za tak podstawowe pytania, dopiero zaczynam przygodę z algebrą liczę na wyrozumiałość...
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Baza wektorów , niezależność
to jest suma w sensie teorii mnogości, zwyczajna suma zbiorów. weźmy np. dwa wektory należące do tej sumy (0, 1) i (1,0). ich suma, wektor (1,1) nie należy do zbioru \(\displaystyle{ V_1\cup V_2}\)be-girl222 pisze:Czyli , by pokazać że 2 powłoki są sobie równe to wystarczy pokazać , że każdy wektor z jednej powłoki da się przedstawić za pomocą sumy wektorów drugiej powłoki? Z czego to wynika?[/qoute]
za pomocą sumy, a dokładniej - kombinacji liniowej wektorów drugiej powłoki. wynika to z tego, że kombinacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ v_1, v_2,\ldots, v_n}\), które same są kombinacjami liniowymi wektorów \(\displaystyle{ w_1, w_2,\ldots, w_m}\) jest też kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ w_1,w_2,\ldots, w_m}\)
jeżeli masz powłokę 2 wektorów, to dla jej wygenerowania wystarczą te 2 wektory. tylko tyle i aż tyle. powłoka liniowa zestawu wektorów, to najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca wszystkie wektory zestawu. równoważnie: jest to zbiór wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów tego zestawu.I czy jak mamy np powłokę liniową złożoną z 2 wektorów z podprzestrzeni V to znaczy że , by wygenerować całą przestrzeń V wystarczą nam te 2 wektory? Nie wiem czy dobrze myślę, co to jest powłoka liniowa.
\(\displaystyle{ V_1=\{(x,0)\}\subset R^2 \cup V_2=\{(0,x)\}\subset R^2}\)
dlaczego w tym wypadku suma tych podprzestrzeni nie jest podprzestrezenią?
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 12 lis 2007, o 15:34
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 2 razy
Baza wektorów , niezależność
a czy część wspólna dwóch podprzestrzeni będzie podprzestrzenią?
DZIĘKUJĘ bardzo za odpowiedzi. Już mniej więcej rozumiem co to powłoka liniowa
DZIĘKUJĘ bardzo za odpowiedzi. Już mniej więcej rozumiem co to powłoka liniowa
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Baza wektorów , niezależność
tak. żeby \(\displaystyle{ V}\) było podprzestrzenią, potrzeba i wystarczy, żeby spełniało dwa warunki: \(\displaystyle{ u, v\in V \Rightarrow u+v\in V}\) oraz \(\displaystyle{ v\in V, \alpha \in K \Rightarrow \alpha v \in V}\). jeżeli teraz masz dwa wektory z \(\displaystyle{ W\cap V}\), to ich suma też należy do \(\displaystyle{ W\cap V}\), bo skoro te wektory należą do \(\displaystyle{ W\cap V}\), to należą do \(\displaystyle{ W}\) i wtedy ich suma też należy do \(\displaystyle{ W}\); należą do \(\displaystyle{ V}\) i wtedy ich suma też należy do \(\displaystyle{ V}\); a zatem suma należy do \(\displaystyle{ W\cap V}\). podobnie z mnożeniem przez skalar.be-girl222 pisze:a czy część wspólna dwóch podprzestrzeni będzie podprzestrzenią?