Witam!
W zadaniu mam pokazać przynależność wektora \(\displaystyle{ a \in R^3}\) po sparametryzowaniu
parametryzacją Cayleya do Specjalnej Grupy Obrotów \(\displaystyle{ SO(3)}\)
Macierz powstała po parametryzacji to:
\(\displaystyle{ R_a = (I_3 -[a])^{-1} (I_3+[a])}\)
Podsumowując mam pokazać że:
\(\displaystyle{ R_a \in SO(3)}\)
_____________________________________________________________________
Moje rozwiązanie:
Muszę dowieść że macierz \(\displaystyle{ R_a}\) jest:
1. ortogonalna
2. \(\displaystyle{ det (R_a) = 1}\)
3. \(\displaystyle{ R( v \times w)= (Rv) \times (Rw)}\)
Wystarczy że wykażę poprawność pkt. 1. a nie będę musiał już pokazać drugiego i trzeciego :
Ad 1.
\(\displaystyle{ R_a R_a^T = I_3}\)
po przekształceniach wychodzi mi:
\(\displaystyle{ [a] +[a]^T =-([a] +[a]^T)}\)
\(\displaystyle{ [a] = \left[ \begin{array}{ c c c }
0 & -a_3 & a_2 \\
a_3 & 0 & -a_1\\
-a_2 & a_1 & 0
\end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ [a] +[a]^T =\left[ \begin{array}{ c c c }
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array} \right] = \theta_{3 \times 3}}\)
\(\displaystyle{ 0_3 = -0_3}\)- Tożsamość
Więc:
\(\displaystyle{ \theta_{3 \times 3} =- \theta_{3 \times 3}}\)
Czyli równanie:
\(\displaystyle{ R_a R_a^T = I_3}\)
jest poprawne .
Czy to wystarczy aby rozwiązać to zadanie
Proszę o wyrozumiałość i pomoc
_______________________________________________________________________
Dokładne kroki i poszczególne przekształcenia:
\(\displaystyle{ (I_3 -[a])^{-1} (I_3+[a])( (I_3 -[a])^{-1} (I_3+[a]) )^T = I_3}\)
\(\displaystyle{ (I_3 -[a])^{-1} (I_3+[a])(I_3+[a])^T((I_3 -[a])^{-1})^T = I_3}\)
\(\displaystyle{ (I_3 -[a])^{-1} (I_3+[a])(I_3+[a])^T((I_3 -[a])^{T})^-1 = I_3 //*(I_3 -[a])^{T}}\)
\(\displaystyle{ (I_3 -[a])^{-1} (I_3+[a])(I_3+[a])^T I_3 = (I_3 -[a])^{T} //(I_3 -[a])*}\)
\(\displaystyle{ I_3 (I_3+[a])(I_3+[a])^T = (I_3 -[a]) (I_3 -[a])^{T}}\)
\(\displaystyle{ (I_3+[a])(I_3+[a]^T) = (I_3 -[a]) (I_3 -[a]^{T})}\)
\(\displaystyle{ (I_3+[a])(I_3+[a]^T) = (I_3 -[a]) (I_3 -[a]^{T})}\)
\(\displaystyle{ I_3 +[a]^T + [a] + [a][a]^T = I_3 -[a]^T - [a] + [a][a]^T}\)
\(\displaystyle{ [a] +[a]^T =-([a] +[a]^T)}\)
\(\displaystyle{ 0_3 = -0_3}\)