Równanie prostej w przestrzeni

DavidUE · Post autor: **DavidUE** » 23 paź 2010, o 17:50

Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez środek sfery \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{6}(x_{i}-2i)^{2}=1}\) i prostopadłej do wektora \(\displaystyle{ a=(-1,2,4,0,1,-2)}\)

Proszę o pomoc w tym zadaniu, bo ja nie mogę sobie poradzić. Wychodzi mi równanie płaszczyzny, nie wiem, co źle liczę :/ wiem, że środkiem okręgu \(\displaystyle{ S^{1}}\) będzie punkt \(\displaystyle{ x^{0}=(2,4,6,8,10,12)}\) ale żeby wyznaczyć prostą muszę mieć jeszcze jeden punkt należący do tej prostej.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 23 paź 2010, o 21:51

Jednym z wektorów prostopadłych do danego jest \(\displaystyle{ \left( 1,0,0,0,1,0\right)}\), więc w postaci parametrycznej prosta ma równania \(\displaystyle{ x_1=2+t,\ x_2=4, \ x_3=6, \ x_4=8, \ x_5=10+t, \ x_6=12.}\)
Prosta w przestrzeni o takim wymiarze chyba nie ma równania w postaci kuerunkowej.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 23 paź 2010, o 23:27

JankoS pisze: Prosta w przestrzeni o takim wymiarze chyba nie ma równania w postaci kuerunkowej.

Raczej: nie ma, ale nie ze względu na wymiar, tylko ze względu na to, że trzeba by dzielić przez zero (bo rozumiem, że chodzi o równanie postaci \(\displaystyle{ \frac{x_{1}-x_{1,0}}{a}=\frac{x_{2}-x_{2,0}}{b}=...}\)).

JankoS · Post autor: **JankoS** » 24 paź 2010, o 00:52

Crizz pisze:
JankoS pisze: Prosta w przestrzeni o takim wymiarze chyba nie ma równania w postaci kuerunkowej.
Raczej: nie ma, ale nie ze względu na wymiar, tylko ze względu na to, że trzeba by dzielić przez zero (bo rozumiem, że chodzi o równanie postaci \(\displaystyle{ \frac{x_{1}-x_{1,0}}{a}=\frac{x_{2}-x_{2,0}}{b}=...}\)).

Z pojęciem równania kierunkowego spotkałem się tylko w przestrzeni dwuwymiarowej.
To co Kolega napisał, to równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez zadane punkty \(\displaystyle{ x_{1,0},x_{2,0}, ...}\) i równoległej do wektora kierunkowego \(\displaystyle{ (a,b,...)}\). Z definicji wynika, że można napisać \(\displaystyle{ \frac{x_1-2}{1} = \frac{x_2-4}{0} = \frac{x_3-6}{0} = \frac{x_4-8}{0} = \frac{x_5-10}{1}= \frac{x_6-12}{0}.}\) A to, że w przypadku, gdy mianowniki są niezerowe można dzielić, to już inna historia.

DavidUE · Post autor: **DavidUE** » 24 paź 2010, o 17:38

ale do wektora a może być nieskończenie wiele prostopadłych wektorów, więc istnieje nieskończenie wiele prostych spełniających warunki z pierwszego posta. Wydaje mi się, że treść zadania jest błędna, i raczej chodzi o płaszczyznę

JankoS · Post autor: **JankoS** » 24 paź 2010, o 20:13

DavidUE pisze:ale do wektora a może być nieskończenie wiele prostopadłych wektorów, ..

To prawda, ale te wektory są do siebie równoległe, a więc prosta prostopadła do jednego z nich jest taka i do poozstałych.

DavidUE · Post autor: **DavidUE** » 25 paź 2010, o 15:33

Nie do końca rozumiem - kolega JankoS podał rozwiązanie jednej prostej, ale jakbym ustalił inny wektor prostopadły do a , to wyznaczyłbym inną prostą prostopadłą do a i mającą kierunek nowego wektora, niekoniecznie równoległego do \(\displaystyle{ \left( 1,0,0,0,1,0\right)}\)

Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, czy tylko jedna prosta?
Jeśli nieskończenie wiele rozwiązań, to równie dobrze treść zadania mogłaby brzmieć: Napisać równanie hiperpłaszczyzny...