Równanie macierzowe

Hołek · Post autor: **Hołek** » 21 paź 2010, o 19:10

Witam,
Mam takie oto zadanie

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-4&6\\0&1&-2\\0&0&1\end{array}\right] \cdot \left( X+\left[\begin{array}{ccc}2&-1&1\\-4&1&3\end{array}\right]\right) ^{T} \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\3&-4\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}2\\-1\\3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1\\2\end{array}\right] ^{T}}\)

Jeżeli ktoś mógłby to rozwiązać to byłoby wspaniale.
Natomiast zadowole sie oczywiście samymi informacjami co do tego zadania np. czy tego typu równanie rozwiązuję, obliczając same macierze? czy też pomagam sobie w takich przypadkach również wyznacznikami?

Z góry dziękuję za informację

Pozdrawiam

adamglos92 · Post autor: **adamglos92** » 21 paź 2010, o 21:41

najlepiej pod X podstawić macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
a &b &c \\
d &e &f
\end{bmatrix}}\)
I kolejno: najpierw dodać do tego macierz, potem przetransponować, następnie kolejno wymnożyć przez macierz na lewo od niej, a potem na prawo (ew. odwrotnie). Iloczyn po prawej trzeba po prostu wyliczyć (skrajną po prawej wcześniej oczywiście przetransponować). W ten sposób powstaje równość dwóch macierzy. każdy element o danych indeksach lewej macierzy musi być odpowiednio równy elementowi o tych samych indeksach prawej macierzy. Nie wiem jak wychodzi, ale w ten sposób musi wyjść.
Nie twierdzę że to najszybszy sposób ale na 100% poprawny:) Pozdrawiam

shvedeq · Post autor: **shvedeq** » 21 paź 2010, o 22:44

NIEEEEEE!!! Z prawej strony równania masz liczbę (dlaczego?). Zauważ, że skrajne macierze po lewej stronie równania są odwracalne. Pomnóż obie strony przez ich odwrotności, teraz obustronnie stransponuj i przenieś na prawą stronę tą macierz co jest w nawiasie.

Hołek · Post autor: **Hołek** » 21 paź 2010, o 22:47

Bardzo dziekuję Ci za przedstawienie mi tego sposobu.

Zastanawiam się czy mozna by było to rozwiązać jeszcze w taki sposób:
- z twierdzenia o macierzy trójkątnej wyznacznik pierwszej macierzy w powyższym zadaniu jest równy 1, a następnie wykonać podstawowe działania wynikajace z dalszej równości.
Natomiast nie wiem czy wyznacznik jako wynik pierwszej macierzy mogę przemnożyć przez następną macierz z tego równania?

Z góry dziękuję za informację
Pozdrawiam

-- 21 października 2010, 21:53 --

shvedeq pisze: Z prawej strony równania masz liczbę (dlaczego?)

Mógłbyś wyjaśnić ?

shvedeq · Post autor: **shvedeq** » 21 paź 2010, o 23:01

Sory za wprowadzenie w błąd. Trochę się pospieszyłem z tą liczbą po prawej stronie.
Tutaj masz mnożyć macierze a nie wyznaczniki.

Hołek · Post autor: **Hołek** » 21 paź 2010, o 23:05

shvedeq pisze:Tutaj masz mnożyć macierze a nie wyznaczniki.

czyli ten sposób który ja przedstawiłem też odpada?, nie wolno mnożyć wyznacznika przez macierz?

shvedeq · Post autor: **shvedeq** » 21 paź 2010, o 23:09

wyznacznik można co najwyżej policzyć (o ile macierz jest kwadratowa). możesz mnożyć macierz przez liczby, ale po co tutaj to robić?

Hołek · Post autor: **Hołek** » 22 paź 2010, o 06:33

shvedeq pisze:ale po co tutaj to robić?

Tak jak napisałem w powyższym poście wyznaczając z pierwszej macierzy wyznacznik który wynosi 1 (twierzdzenie o macierzy trójkątnej) ułatwi mi to dalsze rozwiązywanie zadania.

adamglos92 · Post autor: **adamglos92** » 22 paź 2010, o 22:59

Nie ułatwi - wyznacznik nie jest równoważny macierzy. Idąc dalej twoim tokiem myślenia, można by podstawić pod 1 inną macierz zupełnie nieprzypominającej macierz pierwszą. Pamiętaj, że wyznacznik to nie to samo co macierz!