Zbiory przestrzeni liniowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
DavidUE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 11 paź 2010, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Zbiory przestrzeni liniowej

Post autor: DavidUE »

Sprawdzić, czy podane zbiory są przestrzeniami liniowymi:


\(\displaystyle{ A=\left\{ w: w=ax ^{2}+bx+c, a,b,c \in W \right\}

B = \left\{ (x,y) : x \ge 2y\right\}

C = \left\{ x \in R ^{2} : 6x _{1} -5x_{2}=1 \right\}

D = \left\{ x \in R ^{2} : 2x_{1}-x_{2}=0\right\}}\)

Proszę o pomoc Wiem, że mam sprawdzić, sumę elementów zbioru oraz iloczyn przez skalar, ale nie wiem, jaka jest dziedzina tych działań, czy zmieniam indeksy x (w przykładzie A) itp.
Ostatnio zmieniony 21 paź 2010, o 18:55 przez DavidUE, łącznie zmieniany 2 razy.
borodziejciesla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 19 paź 2010, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Zbiory przestrzeni liniowej

Post autor: borodziejciesla »

Żeby była to przestrzeń liniowa to muszą być spełnione założenia:
- dodawaniem wektorów: \(\displaystyle{ V \times V \to V}\) oznaczanym \(\displaystyle{ \mathbf v \boldsymbol + \mathbf w}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbf v, \mathbf w \in V}\)
- mnożeniem przez skalar:\(\displaystyle{ K \times V \to V oznaczanym a\mathbf v, gdzie a \in K}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf v \in V}\)

Czyli w A suma wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach wymiernych jest dalej wielomianem tego typu, ale za to mnożenie przez liczbę niewymierną dyskwalifikuje go z tego zbioru.
W B wydaje się, że źle zapisałeś warunek.
W C jak widać nie można mnożyć przez skalar bo jeśli \(\displaystyle{ 6x_{1}-5x_{2}=1}\) to dla \(\displaystyle{ h=ax, a\in R}\) mamy \(\displaystyle{ 6*ax_{1}-5*ax_{2} = a}\)
D jest przestrzenią liniową, ale nie chce mi się już pisać
DavidUE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 11 paź 2010, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Zbiory przestrzeni liniowej

Post autor: DavidUE »

Rzeczywiście, źle przepisałem przykład B, już poprawiłem.
Czyli w A suma wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach wymiernych jest dalej wielomianem tego typu
, ale za to mnożenie przez liczbę niewymierną dyskwalifikuje go z tego zbioru.
Właśnie nie wiedziałem, czy całe wyrażenie mnożone przez skalarma należeć do liczb wymiernych czy rzeczywistych, bo nie ma napisane do jakiego zbioru należy wyraz w, jest info, że a,b,c należy do W
Przykład B nie będzie przestrzenią liniową, bo przy mnożeniu przez liczbę \(\displaystyle{ \alpha \le 0}\) to nierówność będzie sprzeczna, chociaż nie wiem, czy mam mnożyć tylko x czy y też?
Nie do końca rozumiem rozumowanie C, szkoda, że nie napisałeś o sumie wyrazów, tylko o iloczynie...
Skoro jesteś pewien, że D jest przestrzenią, to mam nadzieję, że sam do tego dojdę
borodziejciesla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 19 paź 2010, o 15:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Zbiory przestrzeni liniowej

Post autor: borodziejciesla »

W przykładzie B powinieneś chyba mnożyć x i y bo jest chyba po prostu punkt na płaszczyźnie czyli element z \(\displaystyle{ R^{2}}\).
A co do dodawania w przykładzie C, \(\displaystyle{ x^{1},x^{2}\in R^{2}, x^{1}+x^{2}=[x^{2}_{1}+x^{1}_{1},x^{1}_{2}+x^{2}_{2}]}\) czyli podstawiając do ograniczenia \(\displaystyle{ 6(x^{2}_{1}+x^{1}_{1})-5(x^{1}_{2}+x^{2}_{2})=[6x^{1}_{1}-5x^{1}_{2}]+[6x^{2}_{1}-5x^{2}_{2}]=2}\) czyli spełnione nie jest. D sprawdzasz analogicznie.
ODPOWIEDZ