Sprawdzić, czy podane zbiory są przestrzeniami liniowymi:
\(\displaystyle{ A=\left\{ w: w=ax ^{2}+bx+c, a,b,c \in W \right\}
B = \left\{ (x,y) : x \ge 2y\right\}
C = \left\{ x \in R ^{2} : 6x _{1} -5x_{2}=1 \right\}
D = \left\{ x \in R ^{2} : 2x_{1}-x_{2}=0\right\}}\)
Proszę o pomoc Wiem, że mam sprawdzić, sumę elementów zbioru oraz iloczyn przez skalar, ale nie wiem, jaka jest dziedzina tych działań, czy zmieniam indeksy x (w przykładzie A) itp.
Zbiory przestrzeni liniowej
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 paź 2010, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Zbiory przestrzeni liniowej
Żeby była to przestrzeń liniowa to muszą być spełnione założenia:
- dodawaniem wektorów: \(\displaystyle{ V \times V \to V}\) oznaczanym \(\displaystyle{ \mathbf v \boldsymbol + \mathbf w}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbf v, \mathbf w \in V}\)
- mnożeniem przez skalar:\(\displaystyle{ K \times V \to V oznaczanym a\mathbf v, gdzie a \in K}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf v \in V}\)
Czyli w A suma wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach wymiernych jest dalej wielomianem tego typu, ale za to mnożenie przez liczbę niewymierną dyskwalifikuje go z tego zbioru.
W B wydaje się, że źle zapisałeś warunek.
W C jak widać nie można mnożyć przez skalar bo jeśli \(\displaystyle{ 6x_{1}-5x_{2}=1}\) to dla \(\displaystyle{ h=ax, a\in R}\) mamy \(\displaystyle{ 6*ax_{1}-5*ax_{2} = a}\)
D jest przestrzenią liniową, ale nie chce mi się już pisać
- dodawaniem wektorów: \(\displaystyle{ V \times V \to V}\) oznaczanym \(\displaystyle{ \mathbf v \boldsymbol + \mathbf w}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbf v, \mathbf w \in V}\)
- mnożeniem przez skalar:\(\displaystyle{ K \times V \to V oznaczanym a\mathbf v, gdzie a \in K}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf v \in V}\)
Czyli w A suma wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach wymiernych jest dalej wielomianem tego typu, ale za to mnożenie przez liczbę niewymierną dyskwalifikuje go z tego zbioru.
W B wydaje się, że źle zapisałeś warunek.
W C jak widać nie można mnożyć przez skalar bo jeśli \(\displaystyle{ 6x_{1}-5x_{2}=1}\) to dla \(\displaystyle{ h=ax, a\in R}\) mamy \(\displaystyle{ 6*ax_{1}-5*ax_{2} = a}\)
D jest przestrzenią liniową, ale nie chce mi się już pisać
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 11 paź 2010, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
Zbiory przestrzeni liniowej
Rzeczywiście, źle przepisałem przykład B, już poprawiłem.
Przykład B nie będzie przestrzenią liniową, bo przy mnożeniu przez liczbę \(\displaystyle{ \alpha \le 0}\) to nierówność będzie sprzeczna, chociaż nie wiem, czy mam mnożyć tylko x czy y też?
Nie do końca rozumiem rozumowanie C, szkoda, że nie napisałeś o sumie wyrazów, tylko o iloczynie...
Skoro jesteś pewien, że D jest przestrzenią, to mam nadzieję, że sam do tego dojdę
Właśnie nie wiedziałem, czy całe wyrażenie mnożone przez skalarma należeć do liczb wymiernych czy rzeczywistych, bo nie ma napisane do jakiego zbioru należy wyraz w, jest info, że a,b,c należy do WCzyli w A suma wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach wymiernych jest dalej wielomianem tego typu
, ale za to mnożenie przez liczbę niewymierną dyskwalifikuje go z tego zbioru.
Przykład B nie będzie przestrzenią liniową, bo przy mnożeniu przez liczbę \(\displaystyle{ \alpha \le 0}\) to nierówność będzie sprzeczna, chociaż nie wiem, czy mam mnożyć tylko x czy y też?
Nie do końca rozumiem rozumowanie C, szkoda, że nie napisałeś o sumie wyrazów, tylko o iloczynie...
Skoro jesteś pewien, że D jest przestrzenią, to mam nadzieję, że sam do tego dojdę
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 19 paź 2010, o 15:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Zbiory przestrzeni liniowej
W przykładzie B powinieneś chyba mnożyć x i y bo jest chyba po prostu punkt na płaszczyźnie czyli element z \(\displaystyle{ R^{2}}\).
A co do dodawania w przykładzie C, \(\displaystyle{ x^{1},x^{2}\in R^{2}, x^{1}+x^{2}=[x^{2}_{1}+x^{1}_{1},x^{1}_{2}+x^{2}_{2}]}\) czyli podstawiając do ograniczenia \(\displaystyle{ 6(x^{2}_{1}+x^{1}_{1})-5(x^{1}_{2}+x^{2}_{2})=[6x^{1}_{1}-5x^{1}_{2}]+[6x^{2}_{1}-5x^{2}_{2}]=2}\) czyli spełnione nie jest. D sprawdzasz analogicznie.
A co do dodawania w przykładzie C, \(\displaystyle{ x^{1},x^{2}\in R^{2}, x^{1}+x^{2}=[x^{2}_{1}+x^{1}_{1},x^{1}_{2}+x^{2}_{2}]}\) czyli podstawiając do ograniczenia \(\displaystyle{ 6(x^{2}_{1}+x^{1}_{1})-5(x^{1}_{2}+x^{2}_{2})=[6x^{1}_{1}-5x^{1}_{2}]+[6x^{2}_{1}-5x^{2}_{2}]=2}\) czyli spełnione nie jest. D sprawdzasz analogicznie.