Macierz diagonalna

[Heniek1991]

Mam problem z takim zadaniem:

Macierz \(\displaystyle{ A \in K n \times n}\) jest diagonalna i wszystkie jej elementy na głównej przekątnej
są różne, \(\displaystyle{ B \in K n \times n}\) jest taką macierzą, że \(\displaystyle{ BA = AB}\). Pokaż, że macierz
B też jest diagonalna.

Nie wiem jak dla każdego n to udowodnić.

[Qń]

Oznaczmy standardowo wyrazy macierzy \(\displaystyle{ A}\) przez \(\displaystyle{ a_{ij}}\), a macierzy \(\displaystyle{ B}\) przez \(\displaystyle{ b_{ij}}\). Z założenia wynika, że \(\displaystyle{ a_{ij} \neq 0 \Leftrightarrow i \neq j}\) oraz \(\displaystyle{ a_{ii}\neq a_{jj}}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\).

Zastanówmy się co znajduje się na miejscu \(\displaystyle{ i \times j}\) w macierzy \(\displaystyle{ BA}\). Z definicji mnożenia jest to oraz z założenia o diagonalności \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nb_{ik}\cdot a_{kj} = b_{ij}\cdot a_{jj}}\)
Natomiast w macierzy \(\displaystyle{ AB}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^na_{ik}\cdot b_{kj} = a_{ii}\cdot b_{ij}}\)

Ale te dwie liczby są równe, tzn:
\(\displaystyle{ b_{ij}\cdot a_{jj}= a_{ii}\cdot b_{ij}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (a_{ii}-a_{jj})\cdot b_{ij}=0}\)

Jeśli więc \(\displaystyle{ i \neq j}\) to \(\displaystyle{ b_{ij}=0}\), a tego właśnie mieliśmy dowieść.

Q.