Sprawdzić czy układ wektorów jest bazą+Macierz odwzorowania.

[KrS]

Spradzić czy układ wektorów jest bazą w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ C^3}\) nad ciałem \(\displaystyle{ C}\).

układ wektorów:

\(\displaystyle{ v_1=[i,0,1] ,v_2=[1,i,0] ,v_3=[0,1,1]}\)

Teraz jezeli ktoś mógłby krok po korku podac jakie twierdzenia sa potrzbne by to rozwiązać i jeszcze jakoś łopatologicznie co to znaczy \(\displaystyle{ C^3}\) nad ciałem \(\displaystyle{ C}\)

Do tego te 2 zadania jak mozna tez prosiłbym o wytłumaczenie.
1. Rozwiazac układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+3y+z+2w=1\\x-y+8z-w=2\end{cases}}\)

2.Macierza odwzorowania
\(\displaystyle{ f: R^3 \rightarrow R^2}\)
w bazach kanonicznych jest
\(\displaystyle{ M \left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&0&3\end{array}\right]}\)

W \(\displaystyle{ R^2}\) wybieramy baze:
\(\displaystyle{ b_1[0,1] ,b_2[1,1]}\)
W \(\displaystyle{ R^3}\) wybieramy baze:
\(\displaystyle{ c_1[2,0,1] ,c_2[1,3,2] ,c_3[4,0,3]}\)

Znaleźć macierz f w nowych bazach.

[Qń]

Przestrzeń \(\displaystyle{ C^3}\) nad ciałem \(\displaystyle{ C}\) to przestrzeń wektorów długości trzy, których elementy są liczbami zespolonymi (stąd \(\displaystyle{ C^3}\)), i które można mnożyć przez skalary, które są z \(\displaystyle{ C}\) (stąd nad \(\displaystyle{ C}\)).

Żeby ten układ wektorów był bazą \(\displaystyle{ C^3}\), muszą to być wektory liniowo niezależne. Najprostszy sposób sprawdzenia tego czy są, to zbudowanie z nich macierzy i zbadanie czy ma niezerowy wyznacznik (wtedy będzie to baza).

Zadanie pierwsze rozwiązuje się metodą eliminacji Gaussa - wyjdzie rozwiązanie zależne od dwóch parametrów.

Zadanie drugie wymagałoby nieco więcej pisania, sprowadza się ono w zasadzie do przemnożenia stosownych macierzy.

Q.

[KrS]

Czyli potega przy R oznacza ilość wsp. wektora? Z ktorych obliczam jego norme czyli dlugość?

U mnie \(\displaystyle{ i}\) jest wiec liczba zespoloną:

Więc:

\(\displaystyle{ \forall \alpha , \beta , \gamma \in C}\) zachodzi:\(\displaystyle{ \alpha * v_1, \beta * v_2, \gamma* v_3}\)


Jednak czemu równają sie \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\) ?

Zadanie pierwsze rozwiązuje się metodą eliminacji Gaussa - wyjdzie rozwiązanie zależne od dwóch parametrów.

Czyli zadania tego typu zawsze Gaussem?

Zadanie drugie wymagałoby nieco więcej pisania, sprowadza się ono w zasadzie do przemnożenia stosownych macierzy.

jakie to są te stosowne macierze?

[Qń]

O co próbujesz zapytać na początku - nie umiem się domyślić.

Zadania takie jak pierwsze, czyli w przypadku gdy równań jest mniej niż niewiadomych, istotnie rozwiązujemy zawsze metodą eliminacji Gaussa (lub jej modyfikacjami).

Odnośnie zadania drugiego - zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ M_B ^A(\phi ) =P_B^D \cdot M_D^C (\phi ) P_C^A}\)
gdzie \(\displaystyle{ P_C^A}\) to macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ C}\), a \(\displaystyle{ M_B ^A(\phi )}\) to macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\) w bazach od \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\).

U nas \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) to bazy standardowe \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\), więc ten wzór przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ M_B ^A(\phi ) =P_B^{\mathcal{E}} \cdot M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}} (\phi ) P_{\mathcal{E}}^A}\)
Macierz przekształcenia \(\displaystyle{ M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}}\) jest podana w treści zadania. Pozostaje znaleźć macierze przejścia. Tutaj zaś warto skorzystać z dwóch faktów:
a) \(\displaystyle{ P_{\mathcal{E}}^A}\) to macierz, której kolumnami są wektory bazy \(\displaystyle{ A}\)
b) \(\displaystyle{ P_A^{\mathcal{E}}=\left( P_{\mathcal{E}}^A\right)^{-1}}\)

Q.