Znajdź rząd macierzy

[Maestro08]

Prosiłbym o rozpisanie całego zadania, bo już się męczę nad nim sporo czasu, szukałem też podobnych na forum i ciągle nie wiem jak to zrobić poprawnie.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&-1&2\\3&1&0&2\end{bmatrix}}\)

[szw1710]

Rząd tej macierzy to 2, bo minor stopnia 2 złożony z drugiej i trzeciej kolumny jest niezerowy, a rząd macierzy to najwyższy stopnień niezerowego minora.

Oczywiście podaje się różne definicje rzędu, ale to, co napisałem, można np. wyprowadzić jako twierdzenie. Pamiętam, że na studiach mówiło się o rzędzie kolumnowym i wierszowym jako o liczbie liniowo niezależnych kolumn (wierszy) w macierzy. Dowodziło się, że są one równe i przyjmowało się to za definicję rzędu. Twierdzenie o minorze bazowym mówi właśnie, że rząd macierzy to najwyższy stopień niezerowego minora. Przyjmuje się to za definicję rzędu na mniej zawsnsowanych wykładach z algebry liniowej.

[Maestro08]

Rząd tej macierzy to 2, bo minor stopnia 2 złożony z drugiej i trzeciej kolumny jest niezerowy, a rząd macierzy to najwyższy stopnień niezerowego minora.

Kilka pytań do tego
dlaczego akurat druga i trzecia kolumna? Nie może to być np pierwsza i czwarta?
,,Najwyższy stopień niezerowego minora' - a czym jest ograniczony stopień minora? W sensie pewnie on się różni w niektórych zadaniach, jaka jest zależność?

[szw1710]

Stopień minora jest ograniczony wymiarami macierzy. Czy masz tu minor stopnia 3?

[Maestro08]

Czyli stopień minora może być równy lub mniejszy ilości wierszy, tak?

[szw1710]

Nawet musi.

Największy stopień minora to minimum z liczby wierszy i kolumn.

[Maestro08]

Ok, stopień minora zrozumiałem od czego jest zależny, ale w innym się pogubiłem.
Policzyłem minory dla poszczególnych kolumn:
I i IV = -2
III i IV = -2
I i III = 3
II i III = 1
II i IV = 0
I i II = -1
Ogólnie to tak się teraz zaplątałem, że nie wiem gdzie co jak i dlaczego. Nie rozumiem dlaczego w I i IV minor jest zerowy i ciągle dlaczego kolumny II i III.

(Przepraszam jeśli to proste pytania, lub coś źle liczę, ale to moje początki na studiach i dzisiaj dopiero zaczynam macierze... )

[szw1710]

Do wyznaczenia rzędu jest potrzebne istnienie minora niezerowego maksymalnego stopnia, czyli tutaj 2. Więc możesz sobie wybrać którykolwiek niezerowy. Ja wybrałem II, III. A czemu I, IV jest zerowy? Po prostu go policz.

[Maestro08]

No właśnie policzyłem I i IV i o ile nic nie sknociłem wychodzi, że jest niezerowy.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2\\3&2\end{array}\right]}\), czyli 2x2 - 2x3 = -2

[szw1710]

Ale napisałeś w pierwszym poście, ze pierwsza kolumna to dwie dwójki. Zobacz. Trudno, żebym nie napisał inaczej

[Maestro08]

aaaa, faktycznie, mój błąd. Już poprawione, na szczęście nieco mi się rozjaśniło
Czyli teraz rząd tej macierzy to 1?

[szw1710]

Dalej dwa. Przecież jest w tej macierzy niezerowy minor stopnia 2.

[Maestro08]

Ahaaa, a np rząd macierza
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&1&-1&2\\6&2&-2&4\end{array}\right]}\)
jest równy 0?

[szw1710]

Teraz sa dwie macierze. Rozumiem, że w tej drugiej brakuje 1 jedynki. Wtedy wyznacznik jest 0, więc nie ma niezerowego minora stopnia 3. Sa tu minory niezerowe stopnia 2, więc rząd jest 2.

[Maestro08]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&2\\6&2&-2&4\end{bmatrix}}\)
Teraz jest poprawnie Nie wiem czemu w tamtym poście nie działa - kopiuję z instrukcji LaTeXu i tylko liczby zmieniam.
W tej macierzy rząd wynosi zero?