Wyznacz wzór

[Hadar]

Witam mam problem z następującym zadaniem:

Wyznacz wzór na \(\displaystyle{ A^{n}}\), gdy \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)

Jak policzę ile jest \(\displaystyle{ A^{2}}\) i \(\displaystyle{ A^{3}}\) to od razu widać, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ A^{n} = \left[\begin{array}{cc}1&n\\0&1\end{array}\right]}\), ale chyba tak nie wolno rozwiązywać takiego typu zadań. Mógłby mi ktoś powiedzieć jak w sposób ogólny wyprowadzić ten wzór?

Z góry dziękuję

[lukasz1804]

Przypuszczam, że tu najłatwiej będzie podjąć rozumowanie indukcyjne. Skoro udało Ci się przewidzieć postać \(\displaystyle{ n}\)- tej potęgi, warto wykazać metodą indukcji matematycznej poprawność tego spostrzeżenia.

[Hadar]

Dawno nie miałem indukcji i nie za bardzo pamiętam jak się te dowody przeprowadza... Więc czy był by ktoś tak dobry przeprowadzić dla mnie tutaj tę indukcję abym sobie pamięć odświeżył.

Można by też zaproponować mi alternatywną metodą.

Z góry dziękuję. Pozdrawiam.

[shvedeq]

sprawdź dla \(\displaystyle{ n=1}\)
Następnie skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ A^{n+1}=A \cdot A^{n}}\). Dalej już chyba wiesz co zrobić

[Hadar]

Dzięki za pomoc. Będę musiał poszukać zeszytów z LO bo umiejętność korzystania z indukcji matematycznej całkowicie u mnie zanikła(absolutnie nie pamiętam jakie kroki trzeba czynić).. co dobrze o mnie nie świadczy...

[AiDi]

Inna metoda to skorzystać z wielomianu charakterystycznego i tw. Cayleya-Hamiltona, itd.

[Hadar]

o tym to pierwsze słyszę ;D W indukcji przynajmniej nazwa nie jest mi obca ;D

[Mariusz M]

AiDi, też o tym czytałem
Tutaj można też zastosować rozkład Jordana