Sprawdzić czy zbiór macierzy tworzy grupę

[Natasha]

Sprawdzić czy dany zbiór macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy:

b) \(\displaystyle{ a \in M(n,Z): det A \in \{-1,1\}}\)
c). \(\displaystyle{ a \in GL(n,R): det A \in \{-1,1\}}\)
d). \(\displaystyle{ a \in M(n,Z): det A=1}\)

e). \(\displaystyle{ M(n,R)}\)

f). \(\displaystyle{ a \in GL(n,R): det A>0}\)

Proszę o jakies uzasadnienie, bo odpowiedzi mam. Chodzi mi głównie o te wyznaczniki, nie mam pomysłu jak się za to zabrać. Proszę o pomoc.

ps w przykladzie a i b a należy do zbioru -1 i 1.

[Pacek]

b)
Łączność. Weźmy dowolne macierze \(\displaystyle{ A,B,C \in M(n,Z)}\) takie, że \(\displaystyle{ det A, det B, det C \in \left\{ -1,1 \right\}.}\) Chcemy pokzać, że \(\displaystyle{ A(BC)=(AB)C}\). Równość ta zachodzi, bo
mnożenie macierzy jest łączne. W dodatku np. \(\displaystyle{ det BC = det B \cdot det C z}\) twierdzenia Cauch'ego
zatem \(\displaystyle{ BC,A(BC),AB,(ABC)}\) mają wyznacznik \(\displaystyle{ -1}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).
Elementem neutralnym będzie maciesz identyczność, której wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 1}\).
Elementem odwrotnym do macierzy \(\displaystyle{ A}\) będzie macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\), która istnieje, bo
\(\displaystyle{ det A \neq 0}\).

-- 7 paź 2010, o 08:17 --

Oczywiście \(\displaystyle{ det A^{-1}= \frac{1}{det A} \in \left\{ -1,1 \right\}}\)
Rozumiem, że \(\displaystyle{ Z}\) w \(\displaystyle{ M(n,Z)}\) oznacza liczby całkowite. W takim razie \(\displaystyle{ I \in M(n,Z)}\).
Trzeba się jeszcze zastanowić, czy \(\displaystyle{ A^{-1} \in M(n,Z)}\) ?

-- 7 paź 2010, o 08:21 --

Ale raczej tak, z tego względu, że \(\displaystyle{ det A \in \left\{ -1,1 \right\}}\), czyli w obliczaniu macierzy dzielimy przez \(\displaystyle{ -1 ,1}\) . A pozostałe czynności, które wykonujemy przy obliczaniu macierzy odwrotnej to transponowanie i wyznaczanie dopełnień algebraicznych, które nie zmienia całkowitości liczb.

-- 7 paź 2010, o 08:24 --

c,d,f będzie analogicznie. e nie będzie grupą bo dla macierzy o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\) nie będzie istniała macierz odwrotna

Mam nadzieje, że niczego nie pominełam. Pozdrawiam.