Wektory - liniowa niezależność, przestrzeń liniowa, baza.

[cinkowskiw]

Rozważmy wektory \(\displaystyle{ v_1 = (1,0,1,0), v_2 = (-1,2,0,1), v_3 = (0,2,1,1), v_4 = (0,0,1,1)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).
1) Jaki jest wymiar przestrzeni liniowej rozpinanej przez \(\displaystyle{ \{v_1, v_2, v_3, v_4\}}\)?
2) Zbuduj bazę przestrzeni \(\displaystyle{ LIN(\{v_1, v_2\}) \cup LIN(\{v_3, v_4\})}\).
3) Rozszerz bazę z poprzedniego podpunktu do bazy \(\displaystyle{ LIN(\{v_1, v_2\})}\).

ad. 1.
Wektory \(\displaystyle{ v_1, v_3, v_4}\) są liniowo nie zależne. Próbuję sprawdzić czy \(\displaystyle{ LIN = V}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\0&2&1&1\\0&0&1&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right) + \beta \left(\begin{array}{c}0\\2\\1\\1\end{array}\right) + \gamma \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}{\alpha}\\0\\{\alpha}\\0\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0\\{2\gamma}\\{\gamma}\\{\gamma}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0\\0\\{\gamma }\\{\gamma }\end{array}\right)}\)
Czy idę w dobrym kierunku? Jak doliczę to do końca to zmienna c znika.

ad. 2.
\(\displaystyle{ LIN(\{(1,0,1,0), {-1,2,0,1}\}) = \{(\alpha - \beta, 2 \beta, \alpha, \beta): \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}}\)
\(\displaystyle{ LIN(\{(0,2,1,1), {0,0,1,1}\}) = \{(0, 2p, p+q, p+q): p, q \in \mathbb{R}\}}\)
i nie wiem co dalej.

ad. 3.
Tutaj nie wiem co zrobić w ogóle( powiązane z podpunktem 2).

[Konikov]

1) Ułóż z tych czterech wektorów macierz i działając na wierszach (kolumnach? Musisz to sprawdzić ;]) doprowadź do postaci trójkątnej, a najlepiej do macierzy identyczności (jeśli się da). Ilość niezerowych wierszy (kolumn?) będzie wynikiem.

3) To wygląda podejrzanie, bo przecież \(\displaystyle{ LIN(\{v_1, v_2\})}\) jest w sumie baz przestrzeni \(\displaystyle{ LIN(\{v_1, v_2\}) \cup LIN(\{v_3, v_4\})}\).-- 4 października 2010, 22:47 --Okay, jeśli wektory zrobisz kolumnami w swojej macierzy, to możesz działać na kolumnach. Działanie na wierszach zmienia wektory i rozpinaną przez nie przestrzeń (niech ktoś to zweryfikuje ;]).