iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej

[xomus]

Witam! mam mały problem z pewnym zadaniem i miałem nadzieje na jakąś podpowiedź albo rozwiązanie krok po kroku też mogłoby być dobre

Zadanie brzmi tak:

\(\displaystyle{ f(x,y)=X ^{T} A \overline{Y}}\) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ C ^{2}(C)}\) (A jest macierzą formy f w bazie standardowej). Wiadomo, że wektory x=(1,i) i y=(i,0) są ortonormalne w tej przestrzeni.
a)Znaleźć iloczyn skalarny f
b)Znaleźć wszystkie wektory ortogonalne do wektora v=(1,1+i)

Nie wydaje mi się jakieś super trudne ale jednak nie bardzo wierze w łatwe rozwiązanie.
Będę wdzięczny za pomoc.

[szw1710]

Macierz A jest 2 x 2, masz 3 dane: <x,x>=1, <y,y>=1 oraz <x,y>=0, więc znalezienie macierzy sprowadzi się do układu równań. A w macierzy też masz de facto trzy liczby, bo jako macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna. A część b) - też się sprowadzi do (nieoznaczonego) układu równań.

Ukryta treść:    

a)

\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&i\\ i&0\end{pmatrix}}\)

b) Wszystkie wektory \(\displaystyle{ [x,y]}\), dla których \(\displaystyle{ y=(i-2)x}\)

[Rara]

A czy ta macierz nie powinna być sprzężenie symetryczna?
Tzn pierwszy wiersz: a b
drugi wiersz: b(sprzężone) c

bo iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej to forma hermitowska dwuliniowa dodatnio określona i spełnia warunek
f(x,y)=f(y,x)(sprzężone).
Wtedy wychodzi macierz: pierwszy wiersz: 1 -i
drugi wiersz: i 2
i ona jest hermitowska tzn. moduł z jej wyznacznika jest równy 1
i macierz A jest równa macierzy A stransponowanej i sprzężonej.

[szw1710]

Tak - zauważyłaś, że pomyłkowo potraktowałem przestrzeń jako rzeczywistą. Dziękuję za wskazanie błędu.