Baza ortonormalna1

dzikaafryka · Post autor: **dzikaafryka** » 24 wrz 2010, o 15:36

W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{4}}\) rozważamy standardowy iloczyn skalarny. Wyznaczyć bazę ortonornalną podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\) opisanej równaniem \(\displaystyle{ x _{1}-x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=0}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 26 wrz 2010, o 09:23

Jest to podprzestrzeń trójwymiarowa. Wyznacz jej dowolną "zwykłą" bazę, tzn. znajdź trzy wektory liniowo niezależne, których współrzędne spełniają zadane równanie. Następnie zastosuj proces ortogonalizacji Schmidta. Wzory znajdziesz "wszędzie", np. w książce Musielaka "Wstęp do analizy funkcjonalnej", Chmielińskiego "Analiza funkcjonalna. Notatki z wykładu" itp., a zapewne i w Internecie. Czasem pisze się o ortogonalizacji, czasem o ortonormalizacji, trzeba dokładnie sprawdzić. Jeśli długości otrzymanych wektorów nie będa jednostkowe, unormuj te wektory: jesli \(\displaystyle{ u}\) jest wektorem niezerowym, to wektor \(\displaystyle{ \frac{u}{\|u\|}}\) ma długość 1.