Macierze - Układy Równań - Równania Sprzeczne

[Wafel_Drummer]

Witam

(1) Rozwiązując równania natkąłem się na takie równanie

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} + 2x _{2} + x _{3} = 5\\
2x_{1} + x_{2} - x_{3} = 4 \\
x_{1} - x_{2} - 2x_{3} = -1 \end{cases}}\)

Zacząłem je rozwiązywać metodą ze wzorów Cramera jednak bardzo się rozczarowałem widząc w odpowiedziach:

1 + t
2 - t
t
Zupełnie nie mam pojęcia skąd takie rozwiązanie

(2) Po czy można rozpoznać, że układ jest sprzeczny ?
Mam taki przykład i w odpowiedziach jest napisane, że jest on sprzeczny proszę o jakieś wytłumaczenie mi tego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2 \\ 2x_{1} - x_{2} - 2x_{3} + x_{4} = 0 \\ 3x_{1} - 3x_{2} - 5x_{3} + x_{4} = 1 \end{cases}}\)

Dzięki z góry

[Konikov]

1) W pierwszym musiało być gdzieś t przy którymś wyrazie (może błąd w książce?). Takie równania zapisać jako macierz i dążyć do tego (operacjami na wierszach), aby trzy pierwsze kolumny tworzyły macierz identyczności \(\displaystyle{ I_3}\).

2) Przekształcając macierz operacjami elementarnymi na wierszach (lub - bo to jest w zasadzie to samo - operacjami na układzie równań) dostaniesz gdzieś \(\displaystyle{ 0 = 1}\).

[Qń]

W pierwszym wyznacznik główny jest równy zero i wszystkie pozostałe też, więc z wzorów Cramera wynika jedynie, że układ jest nieoznaczony. Żeby znaleźć ogólne rozwiązanie (zależne od jednego lub więcej parametrów), należy użyć metody eliminacji Gausa. Tak samo w drugim zadaniu, gdzie formalnie skorzysta się z tw. Kroneckera-Capellego (które de facto sprowadza się tu do dojścia do równości \(\displaystyle{ 1=0}\)). W obu przypadkach chodzi o doprowadzenie operacjami elementarnymi na wierszach do tzw. postaci schodkowej.

Q.

[Wafel_Drummer]

Mam podręcznik Grzymkowskiego Matematyka dla studentów wyższych uczelni technicznych i z niej się uczę jednak nie wszystkie definicje są dla mnie na tyle zrozumiałe, żebym mógł od razu z nich korzystać. Czy można by było mi wytłumaczyć na pierwszym przykładzie krok po krok co trzeba wykonywa?

[Konikov]

Skombinuj sobie (nawet gdzieś w necie lata) Biblioteczkę Opracowań Matematycznych - "100 układów równań liniowych z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku" - tam wszystko jest wyjaśnione jak w tytule - krok po kroku ;]