Zadanie
Dana jest macierz \(\displaystyle{ A}\) endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) w bazie kanonicznej;
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-4&2\\0&0&0\\1&-4&2\end{array}\right]}\)
a) wykazać że macierz jest diagonalizowalna
b) znaleźć bazę B , w której macierz endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) jest diagonalna oraz podać tę macierz.
Rozwiązanie;
\(\displaystyle{ det(A-Ix)=0}\)
\(\displaystyle{ det(A-Ix)= \left[\begin{array}{ccc}1-x&-4&2\\0&-x&0\\1&-4&2-x\end{array}\right]}\)
po policzeniu wyznacznika metodą Sarrusa wychodzi iż;
\(\displaystyle{ -x^{2}(x-3)=0}\)
czyli;
x=0 - pierwiastek podwójny
x=3 - pierwiastek pojedynczy
zatem macierz D;
\(\displaystyle{ D= \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&3\end{array}\right]}\)
b)
B- baza złożona z wektorów własnych
sprawdzam jakie są wektory własne;
pamiętając;
Jeśli pierwiastek jest k-krotny to musi wyjść k-wektorów własnych. W innym wypadku macierz nie jest diagonalizowalna.
dla x=0
\(\displaystyle{ det(A-Ix)= \left[\begin{array}{ccc}1-x&-4&2\\0&-x&0\\1&-4&2-x\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ x-4y+2z=0}\)
\(\displaystyle{ x=4y-2z}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4a-2b\\a\\b\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ a \cdot \left[\begin{array}{ccc}4\\1\\0\end{array}\right]
+
b \cdot \left[\begin{array}{ccc}-2\\0\\1\end{array}\right]}\)
dla x=3 robimy podobnie i wyszło mi;
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right]}\)
zatem macierz B;
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&1\\1&0&0\\0&1&1\end{array}\right]}\)
1) Czy mógłby ktoś to sprawdzić jeśli chodzi o poprawność.
2) Tutaj mam prośbę odnośnie tego czy takie rozwiązanie dostatecznie dowodzi temu iż ta macierz jest diagonalizowalna oraz czy mój tok rozumowania jest dostateczny. Czy ewentualnie aby rozwiązanie/dowód było pełne należałoby dodać trochę komentarza wyjaśniającego.
Pozdrawiam