Zależność / niezależność

[madzia89]

Hej czy może ktoś mi pomóc rozwiązać to zadanie


Zbadaj zależność albo niezależność wektorów

\(\displaystyle{ e_1=(0,1)}\)
\(\displaystyle{ e_2=(1,0)}\)
\(\displaystyle{ e_3=(2,1)}\)

[Crizz]

Są to przecież wektory \(\displaystyle{ R ^{2}}\) i jest ich trzy, zatem nie mogą być liniowo niezależne.

[madzia89]

a jak rozwiązać to zadanie??

[Crizz]

Przedstaw wektor zerowy jako liniową kombinację tych wektorów (\(\displaystyle{ k_{1}e_{1}+k_{2}e_{2}+k_{3}e_{3}}\)) taką, że co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ k_{1},k_{2},k_{3}}\) nie jest zerem. W ten sposób pokażesz, ze są one liniowo zależne.

[madzia89]

tzn?? Ja nie wiem jak mam to rozwiązać. Dla mnie matematyka to czarna magia ;(

[Crizz]

\(\displaystyle{ k_{1},k_{2},k_{3}}\) są skalarami.

\(\displaystyle{ k_{1}(0,1)+k_{2}(1,0)+k_{3}(2,1)=?}\)

[madzia89]

i co z tym dalej?? Sory ale miałam takiego faceta na wykładach że nic nam nie wytłumaczył bo myślał ze jesteśmy tacy mądrzy jak on a teraz na prawie 60 osób ponad 40 ma poprawkę. Byłabym wdzięczna o całe rozwiązanie żebym mogła zobaczyć jak to zrobić krok po kroku

[Crizz]

Nie umiesz pomnożyć wektora przez skalar ani dodawać wektorów?

\(\displaystyle{ k_{1}(0,1)+k_{2}(1,0)+k_{3}(2,1)=(0,k_{1})+(k_{2},0)+(2k_{3},k_{3})=(k_{2}+2k_{3},k_{1}+k_{3})}\)

Wiesz, skąd się to wzięło?

Jeśli tak, to dalej: z liniowej kombinacji tych trzech wektorów wyszedł nam wektor \(\displaystyle{ (k_{2}+2k_{3},k_{1}+k_{3})}\). Teraz spróbuj znaleźć takie liczby \(\displaystyle{ k_{1},k_{2},k_{3}}\), żeby ten wektor był równy \(\displaystyle{ (0,0)}\). Jeśli nie uda Ci się znaleźć innego rozwiązania niż \(\displaystyle{ k_{1}=k_{2}=k_{3}=0}\), to będzie oznaczało, ze te wektory są liniowo niezależne. W przeciwnym wypadku są liniowo zależne.

[madzia89]

nie wiem mi wyszło takie coś ze są zależne tzn wynik mi wyszedł taki

\(\displaystyle{ b=2a\\
a=-c\\
c=-a}\)

[marybial]

\(\displaystyle{ e_3 = (2, 1) = -1 \cdot (0,1) + 2 \cdot (1, 1) = (-1)\cdot e_1 + 2 \cdot e_2.}\)
Zatem wektor \(\displaystyle{ e_3}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ e_1}\) i \(\displaystyle{ e_2}\), czyli od nich zależy. Oznacza to, że wektory \(\displaystyle{ e_1, e_2, e_3}\) są zależne.

[Crizz]

Jeśli chodzi tu o to, że zastąpiłaś \(\displaystyle{ k_{1},k_{2},k_{3}}\) przez \(\displaystyle{ a,b,c}\), to nie powinno być raczej \(\displaystyle{ b=-2c}\)?

Teraz po prostu zastanów się, czy musi być \(\displaystyle{ a=b=c=0}\), czy można wskazać inne liczby spełniające te zależności.