Wektory - jaki tworzą kąt

[grzesiek_re]

Witam
Właśnie przygotowuje się do egzaminu poprawkowego i prosiłbym aby ktoś wytłumaczył mi jak mam sprawdzić jaki kąt (ostry prosty czy rozwarty) tworzą ze sobą 2 wektory.
Na kolokwium I było takie zadanie:
Dane sa 2 wektory \(\displaystyle{ v=[-4.1,2] , u=[0,-1,3]}\) sprawdź jaki tworzą kąt (ostry, prosty czy rozwarty) tworzą wektory. Wyznacz wszystkie wektory o długości 2 prostopadłe (jednocześnie) do obu wektorów u i v.

Zależało by mi na wytłumaczeniu jak się liczy kąt miedzy wektorami, kiedy wektor jest prostopadły.
pozdrawiam i z góry dzięki

[rozwiazywanie]

Liczysz iloczyn skalarny tych wektorów:

[grzesiek_re]

Dzięki za linka do wiki! Sam bym nie umiał wejsc i zobaczyć! A tak w ogóle Zapomniałeś dać linka do google bo też tam nie zajrzałem!

A teraz poważnie prosze o wytłumaczenie bo z tego co szukałem to nie rozumiem jak należy to zrobić! Prosiłbym aby ktoś krok po kroku napisał co z cyzm i dlaczego!
Z góry dzięki!

[marybial]

Skorzystamy z iloczynu skalarnego, który dla wektorów \(\displaystyle{ v= [v_1, v_2, v_3], \ u = [u_1, u_2, u_3] \in \mathbb{R}^3}\) oblicza się ze wzoru \(\displaystyle{ v \cdot u = v_1 u_1 + v_2u_2 + v_3u_3}\). Związek między kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) utworzonym przez wektory \(\displaystyle{ v, u}\) a ich iloczynem skalarnym jest następujący:
\(\displaystyle{ (\ast) \ \ v \cdot u = |v| \! |u| \cos \alpha,}\)
gdzie \(\displaystyle{ |v|}\) i \(\displaystyle{ |u|}\) są długościami wektorów odpowiednio \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ u}\) (długość dowolnego wektora \(\displaystyle{ w = [w_1, w_2, w_3]\in \mathbb{R}^3}\) oblicza się ze wzoru \(\displaystyle{ |w| = \sqrt{w_{1}^2 + w_{2}^{2} + w_{3}^{2}}}\) ). Ponieważ dla niezerowych wektorów \(\displaystyle{ u, v}\) ich długości są dodatnie, więc ze wzoru (\(\displaystyle{ \ast}\)) wynika, że znak liczby \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) jest taki sam jak znak iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ v \cdot u}\), a po znaku \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) można już rozpoznać, czy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ostry, prosty, czy rozwarty (wiadomo jaki znak ma cosinus w poszczególnych ćwiartkach).

Dla wektorów \(\displaystyle{ u, v}\) z zadania, otrzymujemy \(\displaystyle{ v \cdot u = 0 - 1 + 6 = 5}\), a więc \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) jest liczbą dodatnią, czyli kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) leży w pierwszej ćwiartce, a zatem wektory \(\displaystyle{ v, u}\) tworzą kąt ostry.

Rozwiązanie drugiej części zadania: musimy znaleźć wszystkie wektory \(\displaystyle{ x = [x_1, x_2, x_2]}\), które spełniają dwa warunki:
1) \(\displaystyle{ x}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ v}\) i do \(\displaystyle{ u}\),
2) \(\displaystyle{ x}\) ma długość 2.

Warunek 1) oznacza, że kąt między \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ v}\) jest równy \(\displaystyle{ 90^o}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \cos 90^o = 0}\), więc znaczy to, że iloczyn skalarny \(\displaystyle{ x \cdot v = 0}\). Podobnie dla wektora \(\displaystyle{ u}\) mamy \(\displaystyle{ x \cdot u = 0}\). Zatem
\(\displaystyle{ 0 = x \cdot v = -4x_1 + x_2 + 2x_3}\)
oraz \(\displaystyle{ 0 = x \cdot u = -x_2 + 3x_3.}\)

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x_1 =\frac{5}{4}x_3}\), \(\displaystyle{ x_2 = 3x_3}\), a \(\displaystyle{ x_3}\) jest dowolne, tzn. \(\displaystyle{ x = [\frac{5}{4}x_3, 3x_3, x_3]}\).

Teraz dobierzemy wartość \(\displaystyle{ x_3}\) tak, aby był spełniony warunek 2). Długość wektora \(\displaystyle{ x = [\frac{5}{4}x_3, 3x_3, x_3]}\) jest równa
\(\displaystyle{ |x| = \sqrt{(\frac{5}{4}x_3)^2 + (3x_3)^2 + x_{3}^{2}} = \sqrt{\frac{185}{16}x_{3}^{2}}.}\). Zatem musi być \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{185}{16}x_{3}^{2}} = 2}\), tzn. \(\displaystyle{ \frac{185}{16}x_{3}^{2} = 4}\), a stąd \(\displaystyle{ x_{3}^{2} = \frac{64}{185}.}\) Są więc dwie możliwości:
\(\displaystyle{ x_3 = \sqrt{\frac{64}{185}} = \frac{8\sqrt{185}}{185}}\) lub \(\displaystyle{ x_3 = - \sqrt{\frac{64}{185}} = -\frac{8\sqrt{185}}{185}.}\) Stąd otrzymujemy, że są dwa wektory spełniające warunek z drugiej części zadania:

\(\displaystyle{ \left[\frac{10 \sqrt{185}}{185}, \frac{24\sqrt{185}}{185}, \frac{8\sqrt{185}}{185}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[-\frac{10 \sqrt{185}}{185}, -\frac{24\sqrt{185}}{185}, -\frac{8\sqrt{185}}{185}\right].}\)

[grzesiek_re]

Dzieki wielkie
Troche załapałem po studjuje to może uda mi się całość załapać.
a tak w ogóle to skad wiesz że dla 5 jest kąt ostry?
znalazłem cos takiego jeszcze ze cos \(\displaystyle{ \alpha = \frac{v*u}{|v||u|}}\)
i dopeiro to sprawdzamy jaki jest kąt. Jeśli między 0 a 1 to ostry a jak jest 0 to prosty poniżej zera to rozwarty. wyszło 0,345 więc jest to kąt ostry. czyli tak samo jak tobie.
to w sumie jak to jest bo z tej 5 jakoś nie mogę wywnioskować..

[marybial]

We wzorze \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{v*u}{|v||u|}}\) zapis \(\displaystyle{ v*u}\) oznacza iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ u}\), czyli to samo co ja oznaczyłem przez \(\displaystyle{ v \cdot u}\) (używanych jest kilka różnych oznaczeń dla iloczynu skalarnego). To co jest na dole, czyli \(\displaystyle{ |v| |u|,}\) to iloczyn długości wektorów \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ u}\), a więc jest zawsze dodatnie (chyba że któryś z wektorów jest zerowy). Zatem znak liczby \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) jest taki sam jak znak iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ v * u}\). Ponieważ \(\displaystyle{ v * u = 5}\) jest liczbą dodatnią, więc wynika stąd, że \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) jest dodatni (ale nie jest równy 5 ), a więc jak napisałeś, \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym.