Czy macierz jest diagonalizowalna?

[przescieradlo]

Dana jest macierz A endomorfizmu f w bazie kanonicznej
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&-2&1\\0&-2&1\end{array}\right]}\)

a) wykazac ze macierz A jest diagonalizowalna
b) znalezc baze B, w ktorej macierz endomorfizmy f jest diagonalna i podac ta macierz!

Pomocy, pilne jutro egzamin a nie wiem jak takie rzeczy ruszyc

[marybial]

Rozwiązanie zadania tego samego typu jest na stronie 209522.htm .

[przescieradlo]

a podpunkt b?

[shvedeq]

a o wektorach własnych słyszałeś?

[marybial]

a) Wielomianem charakterystycznym macierzy A jest \(\displaystyle{ \varphi ( \lambda ) = -\lambda^2(\lambda + 1)}\). Wartościami własnymi są \(\displaystyle{ \lambda_1 = 0}\) (jej krotność algebraiczna jest równa 2) oraz \(\displaystyle{ \lambda_2 = -1}\) (o krotności algebraicznej 1).
Podprzestrzeń wektorów własnych odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda_1}\) składa się z wektorów postaci \(\displaystyle{ (x, y, 2y) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 2)}\), a więc jej bazę stanowią wektory \(\displaystyle{ (1, 0, 0), (0, 1, 2)}\) (te wektory będą wykorzystane w rozwiązaniu części b)). Zatem krotność geometryczna \(\displaystyle{ \lambda_1}\) jest równa 2.
Podprzestrzeń wektorów własnych odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda_2}\) składa się z wektorów postaci \(\displaystyle{ (0, y, y) = y(0, 1, 1)}\), a więc jej bazę stanowi wektor \(\displaystyle{ (0, 1, 1)}\) (będzie wykorzystany w części b)). Zatem krotność geometryczna \(\displaystyle{ \lambda_2}\) jest równa 1.
Krotności algebraiczne wartości własnych są równe krotnościom geometrycznym, a więc macierz A jest diagonalizowalna.

b) Bazę B, w której macierz endomorfizmu f jest diagonalna tworzymy z baz podprzestrzeni wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym, czyli możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ B = ( \ (1, 0, 0), (0, 1, 2), (0, 1, 1) \ )}\). W tej bazie macierz endomorfizmu f jest następująca:
\(\displaystyle{ \left[
{\begin{array}{*{20}ccc}
\! \hfill{0} & \hfill{0} & \hfill{0} \\
\! \hfill{0} & \hfill{0} & \hfill{0} \\
\! \hfill{0} & \hfill{0} & \hfill{-1}
\end{array}} \right].}\)