O bazach przestrzeni liniowych

Nixur · Post autor: **Nixur** » 16 wrz 2010, o 14:17

Udowodnij, że każde dwie bazy przestrzeni liniowej skonczonego wymiaru
maja te sama liczbe elementów (to znaczy zbiory ich indeksów sa
równoliczne).

miki999 · Post autor: **miki999** » 16 wrz 2010, o 14:36

To trochę taka "oczywista oczywistość" (bo np. wymiar p. liniowej byłby niejednoznaczny, gdyby takie coś nie zachodziło).

No, ale ok. Proponuję wybrać 2 dowolne bazy, niech jedna z nich zawiera więcej elementów niż ta druga. Dalej korzystasz z def. bazy.

Pozdrawiam.

marybial · Post autor: **marybial** » 16 wrz 2010, o 20:18

Równoliczność wszystkich baz przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wynika z twierdzenia Steinitza o wymianie (tutaj jest treść i dowód tego twierdzenia: ).

Argument odwołujący się do wymiaru przestrzeni, który podał miki999, jest postawieniem sprawy na głowie: właśnie dlatego, że wszystkie bazy są równoliczne pojęcie wymiaru ma sens, a nie na odwrót.