witam, mam sprawdzić czy macierz A jest diagonizowalna
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0&-3&1\\1&4&-1\\1&3&0\end{array}\right]}\)
obliczyłam wartości własne które wynoszą \(\displaystyle{ t_1=1 , t_2=-2}\), teraz licząc wektor własny dla \(\displaystyle{ t_1}\) wychodzi mi układ 3 równań które są takie same \(\displaystyle{ x+3y-z=0}\) i nie wiem jak powinien wyglądać wtedy wektor własny.
Macierz dagonizowalna
-
paulina10000
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 30 maja 2010, o 10:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kRAKÓW
Macierz dagonizowalna
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2010, o 22:17 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę CAŁE wyrażenia, nawet proste równania, umieszczać wewnątrz znaczników[latex][/latex]
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę CAŁE wyrażenia, nawet proste równania, umieszczać wewnątrz znaczników
-
marybial
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 wrz 2010, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 4 razy
Macierz dagonizowalna
Najpierw trochę teorii:
Jeżeli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ A}\), to jej krotnością algebraiczną nazywamy krotność \(\displaystyle{ \lambda}\) jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego macierzy \(\displaystyle{ A}\), a krotnością geometryczną nazywamy wymiar przestrzeni wektorów własnych odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda.}\)
Macierz kwadratowa \(\displaystyle{ A}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy suma krotności algebraicznych jej wszystkich wartości własnych jest równa \(\displaystyle{ n}\) oraz krotność algebraiczna każdej wartości własnej jest równa jej krotności geometrycznej.
Rozwiązanie zadania:
Wielomianem charakterystycznym macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ -(\lambda -1)^2(\lambda - 2)}\), a więc wartościami własnymi są \(\displaystyle{ \lambda_1 = 1}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2 = 2}\) o krotnościach algebraicznych odpowiednio 2 i 1.
Przestrzeń wektorów własnych odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda_1 = 1}\) składa się z wektorów \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) takich, że \(\displaystyle{ x + 3y - z = 0}\), czyli z wektorów postaci \(\displaystyle{ (x, y, x + 3y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 3)}\), gdzie \(\displaystyle{ x, y}\) są dowolne; zatem przestrzeń ta ma wymiar 2. Wynika stąd, że krotność geometryczna \(\displaystyle{ \lambda_1}\) jest równa 2, czyli jest równa krotności algebraicznej.
Przestrzeń wektorów własnych odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda_2 = 2}\) składa się z wektorów postaci \(\displaystyle{ (x, -x, -x) = x(1, -1, -1)}\), a więc ma wymiar 1. Zatem również krotność geometryczna \(\displaystyle{ \lambda_2}\) jest równa jej krotności algebraicznej.
Z powyższego wynika, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna.
Jeżeli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ A}\), to jej krotnością algebraiczną nazywamy krotność \(\displaystyle{ \lambda}\) jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego macierzy \(\displaystyle{ A}\), a krotnością geometryczną nazywamy wymiar przestrzeni wektorów własnych odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda.}\)
Macierz kwadratowa \(\displaystyle{ A}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy suma krotności algebraicznych jej wszystkich wartości własnych jest równa \(\displaystyle{ n}\) oraz krotność algebraiczna każdej wartości własnej jest równa jej krotności geometrycznej.
Rozwiązanie zadania:
Wielomianem charakterystycznym macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ -(\lambda -1)^2(\lambda - 2)}\), a więc wartościami własnymi są \(\displaystyle{ \lambda_1 = 1}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2 = 2}\) o krotnościach algebraicznych odpowiednio 2 i 1.
Przestrzeń wektorów własnych odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda_1 = 1}\) składa się z wektorów \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) takich, że \(\displaystyle{ x + 3y - z = 0}\), czyli z wektorów postaci \(\displaystyle{ (x, y, x + 3y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 3)}\), gdzie \(\displaystyle{ x, y}\) są dowolne; zatem przestrzeń ta ma wymiar 2. Wynika stąd, że krotność geometryczna \(\displaystyle{ \lambda_1}\) jest równa 2, czyli jest równa krotności algebraicznej.
Przestrzeń wektorów własnych odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda_2 = 2}\) składa się z wektorów postaci \(\displaystyle{ (x, -x, -x) = x(1, -1, -1)}\), a więc ma wymiar 1. Zatem również krotność geometryczna \(\displaystyle{ \lambda_2}\) jest równa jej krotności algebraicznej.
Z powyższego wynika, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna.