Niezrozumiałe definicje ...ciało , pierścień itp

[mortas]

Nie mogę znaleźć łatwej do odbioru odpowiedzi na następujące pytania proszę o wytłumaczenie ich w miarę ludzkim językiem:
Przykłady i o co chodzi w :
grupie abelowej
grupie nie abelowej
pierścień nieprzemienny
pierścień przemienny (nie ciało)
ciało

[szw1710]

O idei pierścienia i ciała pisałem już kiedyś na tym forum, zobacz posty mojego autorstwa (dobra, samem znalazł, com napisał: 206006.htm). Grupa abelowa to inaczej przemienna. Przemienne jest zwykłe dodawanie i mnożenie. Nieprzemienne jest np. składanie izometrii. Izometrie tworzą grupę, bo złożenie izometrii jest izometrią, składanie izometrii jest łączne i każda izometria ma przekształcenie odwrotne, które tez jest izometrią. Ponadto przekształcenie identycznościowe jest izometrią. Po prostu postulując własności grupy zakłada się jako najważniejsze te trzy własności. Przemienność nie jest najważniejsza i sie jej nie postuluje. Jednakże niektóre działania są przemienne i wtedy da się udowodnić szereg dodatkowych własności.