Sprawdź, czy zbiór \(\displaystyle{ V=\{(x,y,z):x+y=0\}}\) stanowi podprzestrzeń
liniową przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ (R3, R, +, *)}\)
przestrzeń liniowa
przestrzeń liniowa
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2010, o 10:25 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: w LaTeXu żeby uzyskać klamry musisz napisać \{ oraz \}
Powód: w LaTeXu żeby uzyskać klamry musisz napisać \{ oraz \}
-
shvedeq
- Użytkownik
- Posty: 372
- Rejestracja: 12 kwie 2010, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 25 razy
przestrzeń liniowa
Weźmy \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v} \in V}\). Zobaczmy jak wygląda ich kombinacja liniowa:
\(\displaystyle{ \vec{w}=\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}}\)
\(\displaystyle{ w_1 + w_2=(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v})_1 +(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v})_2=(\alpha u_1 + \beta v_1) + (\alpha u_2 + \beta v_2)=\alpha (u_1+u_2)+ \\ + \beta(v_1+v_2)=\alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0=0}\)
A więc \(\displaystyle{ \vec w}\) spełnia warunek przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Oczywiście wektor zerowy też go spełnia, a więc \(\displaystyle{ V}\) test podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^3}\).
\(\displaystyle{ \vec{w}=\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}}\)
\(\displaystyle{ w_1 + w_2=(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v})_1 +(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v})_2=(\alpha u_1 + \beta v_1) + (\alpha u_2 + \beta v_2)=\alpha (u_1+u_2)+ \\ + \beta(v_1+v_2)=\alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0=0}\)
A więc \(\displaystyle{ \vec w}\) spełnia warunek przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Oczywiście wektor zerowy też go spełnia, a więc \(\displaystyle{ V}\) test podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^3}\).