Czy macierz jest diagonalizowalna?

[rexilion]

Witam.
Przeczytałem wszystkie tematy na ten temat ale nie znalazłem nic co by mi pomogło.

Czy ktoś wie jak sprawdzić (warunki czy coś w tym stylu) czy daną macierz da się sprowadzić do postaci diagonalnej ? Zaznaczam NIE CHODZI MI O SPROWADZENIE tylko o sprawdzenie czy w ogóle się da.

np:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&2&1\\0&-4&-2\end{array}\right]
lub:
\left[\begin{array}{ccc}0&-3&1\\1&4&-1\\1&3&0\end{array}\right]}\)

Pozdrawiam i liczę na jakąś pomoc.

[szw1710]

Jeśli chodzi o sprowadzenie do macierzy diagonalnej \(\displaystyle{ 3\times 3}\) za pomocą przekształceń elementarnych, to wystarczy, aby wyznacznik był niezerowy. Zatem pierwsza macierz nie da się sprowadzić do diagonalnej, a druga da się.

[miki999]

Algebraikiem nie jestem, ale czy czasem nie chodzi o sprawdzanie krotności geometrycznych i algebraicznych?



Pozdrawiam.

[rexilion]

Jeśli chodzi o ten niezerowy wyznacznik to chyba nie do końca.
Wydaje mi się, że nie jest to jednoznaczna metoda, ponieważ owszem zgadza się, że jeśli wyznacznik =0 to nie da się zdiagonalizować ale czasem jest niezerowy i też się nie da.

Mógłbyś powiedzieć coś więcej o tych krotnościach ?

[miki999]

W mądrych książkach/"kursie algebry dla cepów" nazywało się to chyba "kryterium diagonalizowalności" (czy jakoś tak).

Brzmiało to mniej więcej tak:
Macierz jest diagonalizowalna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) dla dowolnej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\): krotność geometryczna=krotność geometryczna.
Krotność geometryczna \(\displaystyle{ \lambda}\): liczba liniowo niezależnych wektorów odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda}\)
Krotnośc algebraiczna \(\displaystyle{ \lambda}\): to jest krotność w równaniu charakterystycznym (tak jak w wielomianach).

Myślę, że skrobnięcie jakiegoś dowodziku na to też by nie było szczególnym problemem.



Pozdrawiam.