Zbadać wzajemne położenie prostych

[JabulaniABG]

Witam mam takie zadanie
Zbadać wzajemne położenie prostych:

\(\displaystyle{ l_{1}: \begin{cases} x-y-z+2=0\\5x-2y-z+12=0\end{cases} \\
l_{2}: x-1= \frac{y+1}{4} = \frac{z+1}{-3}}\)

Znaleźć o ile to możliwe równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) zawierającej proste \(\displaystyle{ l_1}\) i \(\displaystyle{ l_2}\).
Z zadania potrafię wyliczyć:
\(\displaystyle{ M_{2}=(1, -1, -1)}\)
\(\displaystyle{ V_{2}= [1, 4, -3]}\)
\(\displaystyle{ V_{1}= [4, 6, 3]}\)

Tyle potrafię zrobić. Mogliście by mi powiedzieć krok po kroku co dalej i jak się to robi?

[Crizz]

Rozumiem, że \(\displaystyle{ V_{1}}\) miał być wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\); jeśli tak, to jest źle obliczony. W jaki sposób to wyliczyłeś?

[JabulaniABG]

Tak to wektor kierunkowy prostej l1. Faktycznie, teraz mi wyszło \(\displaystyle{ [ 3,-6,3]}\). Obliczyłem to na podstawie \(\displaystyle{ n_1 \times n_2}\) gdzie \(\displaystyle{ n_1}\) to \(\displaystyle{ [1, -1, 1]}\) a \(\displaystyle{ n_2=[5, -2 ,-1]}\).

[Crizz]

Hmmm... powinno być \(\displaystyle{ n_{1}=[1,-1,-1]}\), ale nawet z Twoimi współrzędnymi wynik \(\displaystyle{ [3,-6,3]}\) się nie zgadza. Spróbuj teraz obliczyć ten iloczyn wektorowy, dobrze byłoby, gdybyś przedstawił swój sposób obliczania.

[JabulaniABG]

Teraz mi wyszło \(\displaystyle{ [-1, 4, 3]}\). Liczę to tak ,że robię sobie układ
\(\displaystyle{ 1 \ -1 \ -1 \\ 5 \ -2 \ -1}\)
i liczę \(\displaystyle{ (-1 \cdot (-1))-(-2 \cdot (-1))}\) i tak, 3 razy, za każdym razem przysłaniając inną kolumnę.

[Crizz]

Ta metoda liczenia jest nieprawidłowa. Stanie się natomiast prawidłowa, gdy po jej zastosowaniu pomnożysz dodatkowo drugą współrzędną przez \(\displaystyle{ -1}\).

Poprawny jest zatem wynik \(\displaystyle{ [-1,-4,3]}\). Zauważ, że otrzymany wektor jest równoległy do \(\displaystyle{ V_{2}}\), zatem proste \(\displaystyle{ l_{1},l_{2}}\) są równoległe.

Wyznacz teraz dowolny punkt \(\displaystyle{ M_{1}}\) prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\), czyli przykładowe rozwiązanie układu równań (podstaw np. \(\displaystyle{ x=0}\) i wylicz resztę współrzędnych).

Następnie wyznacz \(\displaystyle{ \vec{M_{1}M_{2}}}\). Oblicz \(\displaystyle{ \vec{M_{1}M_{2}} \times \vec{V_{2}}}\). Oba te wektory są równoległe do płaszczyzny, której szukamy, więc ich iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) jest normalny do tej płaszczyzny.

Na koniec zapisujesz równanie płaszczyzny jako \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Musisz wziąć pod uwagę dowolny znany punkt płaszczyzny (np. \(\displaystyle{ M_{1}}\)) i tak dobrać współczynnik \(\displaystyle{ D}\), żeby ten punkt należał do płaszczyzny.

PS Zanim napiszesz następny post, radzę zerknąć na powód edycji poprzedniego, jeśli natomiast masz jakieś wątpliwości co do użycia LaTeXa - pytaj na PW.

[JabulaniABG]

Czyli podczas liczenia ww. przeze mnie metodą, zawsze drugą współrzędną trzeba pomnożyć
\(\displaystyle{ \cdot (-1)}\)
?

[Crizz]

Zawsze.

[JabulaniABG]

Ok. Teraz zgodnie z Twoimi wskazówkami wyznaczyłem dowolny pkt. M1 (za \(\displaystyle{ x}\) podstawiłem \(\displaystyle{ 0}\) ). \(\displaystyle{ M_1}\) wyszło mi \(\displaystyle{ [0, 6, -4]}\). Teraz mam wyznaczyć

\(\displaystyle{ \vec{M_{1}M_{2}}}\)

Czyli pomnożyć \(\displaystyle{ M_1 \cdot M_2}\)

?

[Crizz]

Mieliśmy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y-z+2=0\\5x-2y-z+12=0\end{cases}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -y-z+2=0\\-2y-z+12=0\end{cases}}\)

Odejmujemy stronami:
\(\displaystyle{ y-10=0}\)
\(\displaystyle{ y=10}\)
\(\displaystyle{ z=-8}\)

Powinieneś był otrzymać \(\displaystyle{ M_{1}=(0,10,-8)}\).

Co do wyznaczenia \(\displaystyle{ \vec{M_{1}M_{2}}}\) - chodzi tu o wektor o początku w punkcie \(\displaystyle{ M_{1}}\) i końcu w punkcie \(\displaystyle{ M_{2}}\).

[JabulaniABG]

Sorry, mógłbyś jaśniej napisać jak odejmowałeś stronami, bo coś nie mogę tego pojąć. Z góry dzięki.

[Crizz]

Lewa strona pierwszego równania minus lewa strona drugiego:
\(\displaystyle{ -y-z+2-(-2y-z+12)=-y-z+2+2y+z-12=y-10}\)

[JabulaniABG]

Czyli \(\displaystyle{ \vec{M_{1}M_{2}}}\) wyniesie

1 9 9

Tak się to wyznacza?

[Crizz]

\(\displaystyle{ M_{1}(0,10,-8)}\)
\(\displaystyle{ M_{2}(1,-1,-1)}\)

\(\displaystyle{ \vec{M_{1}M_{2}}=[1-0,-1-10,-1-(-8)]=[1,-11,7]}\)

[JabulaniABG]

Serdeczne dzięki. A czy mógł byś na koniec jeszcze napisać jak będzie wyglądało to równanie płaszczyzny, bo nie jestem pewny?