Zbadać wzajemne położenie prostych

[Crizz]

Iloczyn wektorowy powinien być równy \(\displaystyle{ [-5,-10,-15]}\). Mamy zatem równanie postaci \(\displaystyle{ -5x-10y-15z+D=0}\), podstawiamy np. \(\displaystyle{ M_{2}}\):
\(\displaystyle{ 20+D=0}\)
\(\displaystyle{ D=-20}\)

Ostatecznie, \(\displaystyle{ -5x-10y-15z-20=0}\)

Możemy to sobie uprościć, dzieląc obie strony równania przez \(\displaystyle{ -5}\):
\(\displaystyle{ x+2y+3z+4=0}\)

[JabulaniABG]

Ok. Ale hmm... mi iloczyn wektorowy wychodzi [ 5 10 15], natomiast\(\displaystyle{ D = 10}\)
Nie wiesz gdzie robię błąd w liczeniu?

[Crizz]

Wynik iloczynu wektorowego nie jest błędem. Nie pamiętam już, czy wykonałem działanie \(\displaystyle{ \vec{M_{1}M_{2}} \times \vec{V_{2}}}\), czy \(\displaystyle{ \vec{V_{2}} \times \vec{M_{1}M_{2}}}\), ale kolejność nie ma znaczenia. Widocznie Ty przyjąłeś inną kolejność tych wektorów niż ja, dlatego wyszedł mi wektor przeciwny do Twojego.

Skąd wzięło się natomiast \(\displaystyle{ D=10}\) - nie mam pojęcia. Sprawdź jeszcze raz dokładnie swoje obliczenia.

[JabulaniABG]

Do równania

\(\displaystyle{ -5x -10y - 15z + D = 0}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ M_2 [1 ,-1, 1]}\)

Więc

\(\displaystyle{ -5(1) -10(-1) - 15(1) + D= 0\\
-5 + 10 - 15 + D =0\\
-10= - D\\
D = 10}\)

W ten sposób to liczę.

[Crizz]

Trzecią współrzędną punktu \(\displaystyle{ M_{2}}\) jest \(\displaystyle{ -1}\), a nie \(\displaystyle{ 1}\).

[JabulaniABG]

Wielkie dzięki za rozjaśnienie mi tego zadania.

Jeśli byś mógł nadmienić nieco nt. takiego zadanka:

Zbadać wzajemne położenie prostej

\(\displaystyle{ l:
\begin{cases} x - y - z + 2= 0\\5x - 2y - z + 12 = 0\end{cases}}\)

oraz płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \pi :

x + 2y + 3z + 4 = 0}\)

Co po kolei robić?

[Crizz]

Prawidłową odpowiedź oczywiście już znasz. Najwygodniej przedstawić sobie tę prostą w postaci parametrycznej.

Zaczynasz tak samo: wyznaczasz \(\displaystyle{ V_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ M_{1}}\). Wiesz, jak na podstawie tych dwóch danych zapisać równanie parametryczne? Tu jest to opisane: 201221.htm

Następnie podstawiasz otrzymane przepisy na \(\displaystyle{ x,y,z}\) do równania płaszczyzny. Otrzymujesz równanie względem parametru. Jeśli to równanie:
ma jedno rozwiązanie - prosta przecina płaszczyznę
nie ma rozwiązań - prosta jest równoległa do płaszczyzny
ma nieskończenie wiele rozwiązań - prosta należy do płaszczyzny