Podprzestrzen liniowa

[solmech]

Witam,

jak sprawdzic czy podzbior \(\displaystyle{ R^2}\) jest podprzestrzenia liniowa i jakiego jest wymiaru \(\displaystyle{ \dim}\)?

\(\displaystyle{ X = \{ \left[x,y \right] : x+2y = 0 \}}\)

Pozdrawiam i dziekuje za pomoc.
Tomek

[scyth]

Z definicji, czyli czy jest zamknięte ze względu na mnożenie przez skalar i dodawanie.
Czyli:
\(\displaystyle{ (a,b) \in X \\
(c,d) \in X \\
\alpha, \beta \in \mathbb{R} \\
\Rightarrow \alpha \cdot (a,b) + \beta \cdot (c,d) \in X}\)
Musisz sprawdzić, że \(\displaystyle{ (\alpha a + \beta c, \alpha b + \beta d)}\) należy do tej prostej.
Co do wymiaru - znajdź bazę podprzestrzeni.

[solmech]

Witam,

wlasnie znalazlem wczoraj w ksiazce ta definicje, jednak nie za bardzo rozumie i nie wiem jak to pokazac na tym przykladzie. Zazwyczaj tak mam ze jak zobacze jakis przyklad rozwiazania to juz wiem o co chodzi.

[scyth]

Musisz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ (\alpha a + \beta c, \alpha b + \beta d) \in X}\), czyli czy spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ \alpha a + \beta c + 2 (\alpha b + \beta d)=0}\)

[solmech]

No dobrze, warunek juz zrozumialem. Ale jak to teraz sprawdzic czy jest spelniony dla wszystkich \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \mathbb{R}}\) ?

Pozdrawiam i dziekuje za pomoc.
Tomek

\(\displaystyle{ \alpha (a+2b) + \beta (c+2d) = 0}\)

[scyth]

Licząc na symbolach