\(\displaystyle{ \ Sprawdz \ , \ czy \ podany \ uklad \ rownan \ ma \ rozwiazanie \ ; \ jesli \ tak \ - \ rozwiaza \ go \ :
\begin{cases} x-y+z=2\\ -2x+3y+2z=10 \end{cases}}\)
sprawdź czy układ ma rozwiązanie
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
sprawdź czy układ ma rozwiązanie
Proponuję rozwiązać ten układ, korzystając z interpretacji geometrycznej tego układu równań.
Podane równania przedstawiają dwie płaszczyzny nierównoległe (na oko widać, że ich wektory normalne \(\displaystyle{ [1,-1,1],[-2,3,2]}\) nie są równoległe). Oznacza to, że układ ma rozwiązanie, czyli płaszczyzny przecinają się wzdłuż wspólnej prostej. Znajdujemy równanie tej prostej. Liczymy iloczyn wektorowy wektorów normalnych tych płaszczyzn - otrzymamy wektor kierunkowy podanej prostej:
\(\displaystyle{ [1,-1,1]\times [-2,3,2]=[-5,-4,1]}\)
Znajdujemy następnie przykładowe rozwiązanie układu równań, podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\):
\(\displaystyle{ y=\frac{6}{5},z=\frac{16}{5}}\).
Na koniec zapisujemy odpowiedź: układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań danych wzorem \(\displaystyle{ (x,y,z)=t(-5,-4,1)+\left(0,\frac{6}{5},\frac{16}{5}\right),t\in \Re}\).
Podane równania przedstawiają dwie płaszczyzny nierównoległe (na oko widać, że ich wektory normalne \(\displaystyle{ [1,-1,1],[-2,3,2]}\) nie są równoległe). Oznacza to, że układ ma rozwiązanie, czyli płaszczyzny przecinają się wzdłuż wspólnej prostej. Znajdujemy równanie tej prostej. Liczymy iloczyn wektorowy wektorów normalnych tych płaszczyzn - otrzymamy wektor kierunkowy podanej prostej:
\(\displaystyle{ [1,-1,1]\times [-2,3,2]=[-5,-4,1]}\)
Znajdujemy następnie przykładowe rozwiązanie układu równań, podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\):
\(\displaystyle{ y=\frac{6}{5},z=\frac{16}{5}}\).
Na koniec zapisujemy odpowiedź: układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań danych wzorem \(\displaystyle{ (x,y,z)=t(-5,-4,1)+\left(0,\frac{6}{5},\frac{16}{5}\right),t\in \Re}\).