Sprawdzić czy ektory są wektorami włąsnymi macierzy

[i105n2k]

Sprawdzić czy wektory
\(\displaystyle{ \vec{a} =\left|3,1,1 \right| ; \vec{b}= \left|1,3,0\right| ; \vec{c}= \left|0,2,1 \right|}\)
Są wektorami własnymi macierzy:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&0&4\\0&1&0\end{bmatrix}}\)
Jak to zrobić ?

[pajong8888]

Mi wyszły wektory własne (0,2,-1), (0,2,1) i (3,1,1).

[Qń]

Szybciej jest sprawdzić z definicji czy \(\displaystyle{ A\vec{v}}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ \vec{v}}\).

Q.

[i105n2k]

Szybciej jest sprawdzić z definicji czy \(\displaystyle{ A\vec{v}}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ \vec{v}}\).

Q.

Mógłbyś pokazać na przykładzie ? Byłbym Ci bardzo wdzięczny.

[pajong8888]

Dobra spróbuję to szybko udowodnić. Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie wartością własną macierzy A. Wektor \(\displaystyle{ \vec{x}}\) jest wektorem własnym macierzy A jesli dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) \(\displaystyle{ A\vec{x}=\lambda I \vec{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą jednostkową wymiaru macierzy A.

\(\displaystyle{ A\vec{a}=\begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&0&4\\0&1&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\1\\1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lambda I \vec{a}=\begin{bmatrix} \lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 3\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\lambda\\\lambda\\\lambda\end{bmatrix}}\)
Widzimy, że może być spełnione i jedna z wartości własnych jest \(\displaystyle{ \lambda_1=1}\)
Tak też możesz zaprzeczyć temu, że istnieje taka \(\displaystyle{ \lambda}\), że powyższa zależność jest spełniona dla wektora \(\displaystyle{ \vec{b}}\)-- 7 wrz 2010, o 23:23 --Czyli inaczej tak jak Qń napisał. (BTW Qń chciałbym Cie przeprosić za tamten temat, rzeczywiście miałeś rację z tą płaszczyzną i prostą w przestrzeni, ktos na wikipedii głupoty napisał, a ja nie udowadniając byłem pewien, że tam jest dobrze napisane, jednak po chwili zastanowienia po skończeniu wypowidania sie w tamtym temacie zrozumiałem, że się myliłem. Przepraszam Cię.)

[Qń]

Definicja jest taka: \(\displaystyle{ \vec{v}}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) jeśli istnieje taka rzeczywista \(\displaystyle{ \lambda}\), że \(\displaystyle{ A\vec{v}=\lambda \vec{v}}\). No to sprawdzamy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&0&4\\0&1&0\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} 0\\ 2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 4\\2 \end{bmatrix} = 2\cdot
\begin{bmatrix} 0\\ 2\\1\end{bmatrix}}\)

co oznacza, że ten wektor jest własny.

Q.