Wartości i wektory włąsne macierzy

[i105n2k]

Znaleźc wartości i wektory własne macierzy:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}}\)
Wartości własne wychodzą mi -1;1;1
Wektory zaś
\(\displaystyle{ \vec{a}= \left[ 0,1,1\right] ; \vec{b}= \left[ 0,-1,1\right]}\)
Wrzuciłem sobie jeszcze macierz w program Mathematica i o dziwo dostałem jeszcze jeden wektor w postaci:

\(\displaystyle{ \vec{c}= \left[ 1,0,0\right]}\)
Skąd to ?

Jeśli dobrze rozumiem schemat szukania wektorów własnych to każdą wartość własną macierzy należy wstawić macierzy pomnożonej przez \(\displaystyle{ - \lambda E}\) i skoro dwie wartości własne sie powtarzają to jakim cudem mogę mieć trzy wektory własne ?

[BettyBoo]

Najwyraźniej nabrałeś przeświadczenia, że da się znaleźć tylko jeden liniowo niezależny wektor własny dla każdej wartości własnej - a to nieprawda.

Ogólna postać wektorów własnych dla wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\) to np \(\displaystyle{ (a,-b,b)}\), zależy od dwóch parametrów, a więc da się znaleźć dwa liniowo niezależne wektory własne (najprościej to zrobić biorąc \(\displaystyle{ a=0,b=1}\) - czyli to, co Ty zrobiłeś - a potem np \(\displaystyle{ a=1,b=0}\) - stąd masz drugi wektor).

Należy przy tym pamiętać, że to tylko PRZYKŁADOWE wektory własne, a nie wszystkie wektory.

Pozdrawiam.