macierze podobne.

[tajemniczy el grande]

helou.

Mam pokazać, że macierze podobne mają te same ślady.

ślad to suma elementów głównej przekątnej.

Czyli: \(\displaystyle{ slad(A) = slad (P^-^1BP )= slad (P^-^1PB) = slad (I * B) = slad (B)}\)

I tutaj oto jawi się pytanie: czy w tym przypadku zachodzi \(\displaystyle{ slad (P^-^1BP) = slad (P^-^1PB)}\) ?

ed: przypadkiem wybrałem zły dział. proszę o przeniesienie do algebry liniowej.

[kuch2r]

I tutaj oto jawi się pytanie: czy w tym przypadku zachodzi \(\displaystyle{ slad (P^-^1BP) = slad (P^-^1PB)}\) ?

cytując wikipedie:
"powyższa własność zachodzi tylki i wyłącznie w przypadku, gdy \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą odwracalną."

[Wasilewski]

Z całą pewnością zawsze zachodzi:
\(\displaystyle{ tr((P^{-1}B)P) = tr(P(P^{-1}B))}\).
kuch2r, przecież w innym przypadku te napisy nie mają sensu.

[kuch2r]

Z całą pewnością zawsze zachodzi:
\(\displaystyle{ tr((P^{-1}B)P) = tr(P(P^{-1}B))}\).
kuch2r, przecież w innym przypadku te napisy nie mają sensu.

jestem pod wrażeniem swojej mądrości

[shvedeq]

równe wyznaczniki, te same wartości własne

[marybial]

Jeśli macierze są podobne, to mają równe wyznaczniki i te same wartości własne (jak słusznie napisał shvedeq). Ale uwaga: jest to warunek konieczny, lecz nie jest wystarczający, tzn. macierze tego samego stopnia o równych wyznacznikach i tych samych wartościach własnych nie muszą być podobne. Na przykład,
macierze \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ B = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]}\) mają taki sam wyznacznik i te same wartości własne, ale nie są podobne (bo mają różne ślady).