Rzut punktu na prostą daną równaniem krawędziowym

[dareox]

Witam bardzo bym prosił o rozwiazanie mi tego zadania. Od dłuzszeo czasu probuje i ciagle mi inne wyniki wychodzą.

Znaleść rzut prostopadły punktu P na prostą m gdzie:
\(\displaystyle{ m= \begin{cases} 2x-y+z=13\\ x-y+2z=14 \end{cases}}\)

zaś P=(2,6,4)

[Qń]

Wskazówka: najpierw znajdź równanie prostej w postaci kierunkowej (\(\displaystyle{ t\cdot \vec{v} + A}\)), następnie na podstawie tego znajdź równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) prostopadłej do \(\displaystyle{ m}\) i przechodzącej przez \(\displaystyle{ P}\). Szukany punkt to część wspólna \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ m}\).

Q.

[dareox]

Nie bardzo rozumiem tej postaci kierunkowej. Jak to się przekształca? I jak przekształcić krawędziową na parametryczną?

[Crizz]

Iloczyn wektorowy wektorów normalnych podanych płaszczyzn jest wektorem kierunkowym prostej. Do postaci parametrycznej będziesz potrzebował jeszcze dowolnego punktu wspólnego tych płaszczyzn, wystarczy zatem znalezienie dowolnego rozwiązania powyższego układu równań.

[dareox]

Moge przy rozwiązaniu układu przyjąć np z=0 i wyliczyć wtedy x i y?

[Crizz]

Możesz.

[dareox]

a mam jeszcze pytanie bo mi się tez nasunęła opcja zeby sprawdzić swoje wyniki (niestety sie nie pokryły - narazie). Moim zdaniem powinien wyjść ten rzut punktu na prostej z układu 3 rownań 3 płaszczyzn: 2 z krawedziowej postaci prostej i jedna zawierajaca punkt P i prostopadla do prostej m, czyli część wspólna tych 3 płaszczyzn. Czy mam rację? Powinno wyjsc to samo?

[Crizz]

Zgadza się, to mniej więcej to samo, co zaproponował Ci Qń.

[dareox]

Dzieki wielkie za wszytsko, zadanie rozgryzłem i wyniki z obu sposobów sie zgadzaja:)