Dwa zadania z algebry l. (Macierze i układy równań)

[politechnik]

Witam, dziś rzucam wyzwanie tym, którzy umieją pomóc takim jednostkom jak ja.

Zadanie 1. Rozwiązać.
\(\displaystyle{ \left(3AX-2X \right) ^{T} = \left(B ^{-1} \cdot C \right) ^{T}}\)
Przy czym:
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right]


B= \left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]


C = \left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\)

Zadanie 2. Rozwiązać
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=0 \\ x+y-z+t = 1 \end{cases}}\)
Z chęcią przyjmę każdą wskazówkę, ale sensowną. Nie do końca wiem jak dokonać tych transpozycji. w pierwszym. I jak rozwiązać ten 2 układzik.

[Mikolaj9]

Jeśli macierze są równe, to ich transpozycje także, więc można transponować stronami.
\(\displaystyle{ B^{-1}}\) od razu otrzymasz metodą eliminacji.

[miodzio1988]

2. Eliminacja Gaussa .(można też od razu to zrobić na poziomie gimnazjum)

1. Wyznacz \(\displaystyle{ X}\) Zrób to tak samo jak wyznaczasz w normalnych równaniach z liczbami \(\displaystyle{ x}\). Podstawowe własności transpozycji się kłaniają

[pyzol]

Jeśli macierze są równe, to ich transpozycje także, więc można transponować stronami.
\(\displaystyle{ B^{-1}}\) od razu otrzymasz metodą eliminacji.

To ja napisze to samo:
Jesli transpozycje macierzy sa rowne, to macierze takze.
Mozemy wiec operator transpozycji sobie odpuscic.

[pajong8888]

W 2. można ten układ zapisać jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-x\\ t=1+z\end{cases}}\)

Rozwiązaniem tego układu będzie przestrzeń wektorowa postaci:
\(\displaystyle{ V=\{(x,-x,z,1+z):x,z\in \mathbb{R}\}}\)

\(\displaystyle{ V=span\{(0,0,0,1),(1,-1,0,0),(0,0,1,2)\}}\)

[politechnik]

No dobrze coś żeście powiedzieli, a ja nie do końca wiem jak nadal to zrobić, miodzio twierdzi że można to zrobić Metodą Eliminacji Gaussa, a ja zadaję pytanie jak wyobrażasz sobie stworzenie macierzy?
Czyżby macierz miała wyglądać?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&0&0&0\\1&1&-1&1&1\end{array}\right]}\)

Nie chce się wymądrzać, ale tak się chyba nie da.

[miodzio1988]

Nie chce się wymądrzać, ale tak się chyba nie da.

Da się. Kilka operacji i mamy macierz wierszowo zredukowaną. pajong8888 Ci podał już odpowiedź. Można to zrobić na poziomie gimnazjum

[politechnik]

Rozwiązanie zadania 1.
Odwracamy macierz B otrzymując postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\-1&1\end{array}\right]}\)
Sprowadzamy lewą i prawą stronę do postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&6\\3&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] - 2 \cdot \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\-1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\)
Dalej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a+6c&b+6d\\3a+c&3b+d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right]}\)
Otrzymujemy 4 równania i 4 niewiadome.
Dalej wiadomo

[miodzio1988]

1. Wyznacz \(\displaystyle{ X}\) Zrób to tak samo jak wyznaczasz w normalnych równaniach z liczbami \(\displaystyle{ x}\). Podstawowe własności transpozycji się kłaniają

Tak jak tutaj napisałem trzeba zrobić+uwaga o transpozycji