Bardzo proszę o pomoc z następującym zadaniem:
\(\displaystyle{ Q}\) jest formą kwadratową.
Wektor \(\displaystyle{ v \in V}\) nazywamy izotropowym, jeśli \(\displaystyle{ Q(v)=0}\).
Zadanie:
Załóżmy, że zbior wektorów izotropowych jest podprzestrzenią. Wykaż, że wtedy:
a) \(\displaystyle{ Q}\) jest półokreślona;
b) jeśli \(\displaystyle{ v, w \in V}\), przy czym \(\displaystyle{ v}\) jest wektorem izotropowym, to \(\displaystyle{ Q(v, w)=0}\).
Próbowałam robić część a) jakoś nie wprost, ale nic mi nie wychodzi...
Wektory izotropowe i forma kwadratowa
-
szw1710
Wektory izotropowe i forma kwadratowa
Oznaczenie \(\displaystyle{ Q}\) występuje tu w dwóch rolach. Raz jest to forma kwadratowa (gdy mówisz o jednej zmiennej, \(\displaystyle{ Q(v)}\)), a raz funkcjonał dwuliniowy symetryczny (gdy mowa o funkcji dwóch zmiennych \(\displaystyle{ Q(v,w)}\)). Forma kwadratowa to uskośnienie funkcjonału dwuliniowego symetrycznego, tj. jeśli \(\displaystyle{ \varphi(v,w)}\) jest takim funkcjonałem, to \(\displaystyle{ Q(v)=\varphi(v,v)}\) jest formą kwadratową.
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wektory izotropowe i forma kwadratowa
Wystarczy rozpatrzyć przypadek kiedy \(\displaystyle{ V}\) ma skończony wymiar \(\displaystyle{ n}\).
Korzystając z twierdzenia Sylvestera istnieje baza \(\displaystyle{ e_{1},\ldots, e_{n}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) spełniająca:
\(\displaystyle{ q\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}x_{i}^{2},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_{i}\in \{1,0,-1\}}\).
Forma o takiej postaci nie jest półokreślona, jeśli dla pewnych \(\displaystyle{ i,j}\) mamy \(\displaystyle{ \varepsilon_{i} = 1,\ \varepsilon_{j} = -1}\), przy czym bez straty ogólności \(\displaystyle{ i=1, j = 2}\).
Dla wprawy proponuję więc rozpatrzyć najpierw przypadek formy \(\displaystyle{ q:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}, \ q(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}\) aby zobaczyć jak można rozumować nie wprost w a) (przypadek ogólny idzie tak samo).
b) wynika z a) i twierdzenia Sylvestera.
Korzystając z twierdzenia Sylvestera istnieje baza \(\displaystyle{ e_{1},\ldots, e_{n}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) spełniająca:
\(\displaystyle{ q\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}x_{i}^{2},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_{i}\in \{1,0,-1\}}\).
Forma o takiej postaci nie jest półokreślona, jeśli dla pewnych \(\displaystyle{ i,j}\) mamy \(\displaystyle{ \varepsilon_{i} = 1,\ \varepsilon_{j} = -1}\), przy czym bez straty ogólności \(\displaystyle{ i=1, j = 2}\).
Dla wprawy proponuję więc rozpatrzyć najpierw przypadek formy \(\displaystyle{ q:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}, \ q(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}\) aby zobaczyć jak można rozumować nie wprost w a) (przypadek ogólny idzie tak samo).
b) wynika z a) i twierdzenia Sylvestera.