W przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\) ze zwykłym iloczynem skalarnym dane są wektory
\(\displaystyle{ a= [�9; 6; 2; 0]^T}\) ,
\(\displaystyle{ b= [2;�1; 0; 2]^T}\) .
Wyznacz bazę, uzupełnienie ortogonalne i równanie ogólne hiperpodprzestrzeni U takiej, że symetria prostopadła wzgledem U przekształca lin(a) na lin(b).
wyznaczyć hiperpodprestrzeń
wyznaczyć hiperpodprestrzeń
Niech:
\(\displaystyle{ a_n = \frac{a}{ \left| a \right| } = \left[ \frac{9}{11} ; \frac{6}{11} ; \frac{2}{11} ; 0 \right]^T
b_n = \frac{b}{ \left| b \right| } = \left[ \frac{2}{3} ; \frac{1}{3} ; 0; \frac{2}{3} \right]^T}\)
Wtedy \(\displaystyle{ a_n - b_n = \left[ \frac{5}{33} ; \frac{7}{33} ; \frac{6}{33} ; -\frac{22}{33} \right]^T}\)należy do ortogonalnego uzupełnienia U.
Niech więc \(\displaystyle{ \left[ 5; 7; 6; -22 \right]^T v \in lin(a_n - b_n)}\) będzie wektorem bazowym dopełnienia U.
Z niego otrzymujemy równanie ogólne na U: \(\displaystyle{ 5x + 7y + 6z -22t = 0}\)
Przykładowe wektory bazowe:
\(\displaystyle{ u_1 = \left[ 1; 0; 0; \frac{5}{22} \right]
u_2 = \left[ 0; 1; 0; \frac{7}{22} \right]
u_3 = \left[ 0; 0; 1; \frac{6}{22} \right]}\)
Albo nawet i:
\(\displaystyle{ u_1 = \left[ 22; 0; 0; 5 \right]
u_2 = \left[ 0; 22; 0; 7 \right]
u_3 = \left[ 0; 0; 22; 6 \right]}\)
\(\displaystyle{ a_n = \frac{a}{ \left| a \right| } = \left[ \frac{9}{11} ; \frac{6}{11} ; \frac{2}{11} ; 0 \right]^T
b_n = \frac{b}{ \left| b \right| } = \left[ \frac{2}{3} ; \frac{1}{3} ; 0; \frac{2}{3} \right]^T}\)
Wtedy \(\displaystyle{ a_n - b_n = \left[ \frac{5}{33} ; \frac{7}{33} ; \frac{6}{33} ; -\frac{22}{33} \right]^T}\)należy do ortogonalnego uzupełnienia U.
Niech więc \(\displaystyle{ \left[ 5; 7; 6; -22 \right]^T v \in lin(a_n - b_n)}\) będzie wektorem bazowym dopełnienia U.
Z niego otrzymujemy równanie ogólne na U: \(\displaystyle{ 5x + 7y + 6z -22t = 0}\)
Przykładowe wektory bazowe:
\(\displaystyle{ u_1 = \left[ 1; 0; 0; \frac{5}{22} \right]
u_2 = \left[ 0; 1; 0; \frac{7}{22} \right]
u_3 = \left[ 0; 0; 1; \frac{6}{22} \right]}\)
Albo nawet i:
\(\displaystyle{ u_1 = \left[ 22; 0; 0; 5 \right]
u_2 = \left[ 0; 22; 0; 7 \right]
u_3 = \left[ 0; 0; 22; 6 \right]}\)