Rzędy macierzy podobnych
-
szw1710
Rzędy macierzy podobnych
Jeśli macierz P jest nieosobliwa, to \(\displaystyle{ \text{rz}(AP)=\text{rz}(PA)=\text{rz\,}A}\).
Jeśli teraz macierze A i B są podobne, to dla pewnej macierzy nieosobliwej P mamy
\(\displaystyle{ B=P^{-1}AP}\), skąd \(\displaystyle{ PB=AP}\).
Teraz z nieosobliwości P mamy, że \(\displaystyle{ \text{rz}(PB)=\text{rz\,}B}\), \(\displaystyle{ \text{rz}(AP)=\text{rz\,}A}\), co w połączeniu z powyższą równością daje tezę.
Fakt wspomniany w pierwszej linii postu można wyprowadzić z twierdzenia Cauchy'ego (\(\displaystyle{ \det(AB)=\det A\det B}\)) analizując minory.
Jeśli teraz macierze A i B są podobne, to dla pewnej macierzy nieosobliwej P mamy
\(\displaystyle{ B=P^{-1}AP}\), skąd \(\displaystyle{ PB=AP}\).
Teraz z nieosobliwości P mamy, że \(\displaystyle{ \text{rz}(PB)=\text{rz\,}B}\), \(\displaystyle{ \text{rz}(AP)=\text{rz\,}A}\), co w połączeniu z powyższą równością daje tezę.
Fakt wspomniany w pierwszej linii postu można wyprowadzić z twierdzenia Cauchy'ego (\(\displaystyle{ \det(AB)=\det A\det B}\)) analizując minory.