Jak policzyć normę macierzy?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 247
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Jak policzyć normę macierzy?

Post autor: Borneq »

Mam sprawdzić czy wektory w bazie są liniowo niezależne. Mogę wyznaczyć wyznacznik i sprawdzić czy nie jest bliski zeru, ale jak bliski?
Dla macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ }\)
wyznacznik będzie \(\displaystyle{ a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}\), dla macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}10&0\\0&10\end{array}\right]}\) wynosi 100 a dla \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}10&0\\0&1\end{array}\right]}\) 10.
Policzmy wyznacznik wektorów bliskich liniowej zależności.
Dla \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1+\epsilon_{1}&1+\epsilon_{2}\\\epsilon_{3}&\epsilon_{4}\end{array}\right]}\) będzie mniejszy niż dla \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}10+\epsilon_{1}&10+\epsilon_{2}\\\epsilon_{3}&\epsilon_{4}\end{array}\right]}\) a tymczasem wektory są bardziej liniowo niezależne.
Należy wyznacznik podzielić przez normę, norma taka dla tych przypadków gdy mamy dwie jedynki powinna wynieść 1, dla dwóch dziesiątek 100 a dla dziesiątki i jedynki 10.
W mamy definicję normy macierzy: jest to największa wartość normy iloczynu macierzy z niezerowym wektorem podzielona przez normę tego wektora. Wektorów może być nieskończenie wiele, jak mając tę definicję obliczyć normę macierzy?

-- 30 lip 2010, o 09:12 --

Potrzebny byłby taki algorytm wyznaczania normy aby norma macierzy a*I była dokłądnie równa jej wyznacznikowi.

-- 30 lip 2010, o 09:40 --

Czy można by obliczać normę podobnie jak wyznacznik stosując regułę Laplace'a tylko nie używać \(\displaystyle{ (-1)^{i+j}}\) tylko sumować wartości bezwzględne minorów a może lepiej dać pierwiastek sumy ich kwadratów? (sprawdziłem że pierwiastek sumy kwadratów gorzej, bo wynik bywa mniejszy co do wielkości bezwzględnej od normy)

-- 30 lip 2010, o 11:00 --

Nie spełnia warunku \(\displaystyle{ \parallel ax \parallel =|a| \parallel x \parallel}\) bo pomnożenie przez a macierzy diagonalnej da wynik \(\displaystyle{ a^{n}}\) razy większy, więc nie jest to norma ale nadaje się bardziej do porównywania ponieważ wartość bezwzględna wyznacznika podzielona przez tą wartość należy do przedziału (0;1)

-- 31 lip 2010, o 10:29 --

To można inaczej zrobić - dodając nowy rekord do bazy wykonuję mnożenie skalarne z wektorami z bazy i znając ich długość mam cosinus kąta.
ODPOWIEDZ