Dana jest przestrzeń wektorowa \(\displaystyle{ Z_5 ^{3}(Z_5)}\) i jej podprzestrzeń \(\displaystyle{ M}\) generowana przez zbiór \(\displaystyle{ {(0, 0, 1), (1, 0, 0)}.}\)
Jak sprawdzić czy układ
a)
\(\displaystyle{ ((1,1,0),(0,0,1))}\)
b)
\(\displaystyle{ ((1,0,1),(0,0,1))}\)
jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ M(Z_5)}\)??
baza przestrzeni wektorowej
-
miodzio1988
baza przestrzeni wektorowej
No to układ kiedy jest bazą? Kiedy jest liniowo niezależny i generuje całą przestrzeń. Te dwa warunki musisz sprawdzić. Jaki problem Ci one sprawiają?
baza przestrzeni wektorowej
no to sprawdzamy czy są liniowo niezależne:
a)
\(\displaystyle{ \alpha (1,1,0)+\beta(0,0,1)=(0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=0\\ \beta=0 \end{cases}}\)
są liniowo niezależne
b)
\(\displaystyle{ \alpha (1,0,1)+\beta(0,0,1)=(0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=0\\ \alpha+\beta=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=0\\ \beta=0 \end{cases}}\)
też jest...no i jak teraz sprawdzić czy generuje całą przestrzeń?
a)
\(\displaystyle{ \alpha (1,1,0)+\beta(0,0,1)=(0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=0\\ \beta=0 \end{cases}}\)
są liniowo niezależne
b)
\(\displaystyle{ \alpha (1,0,1)+\beta(0,0,1)=(0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=0\\ \alpha+\beta=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=0\\ \beta=0 \end{cases}}\)
też jest...no i jak teraz sprawdzić czy generuje całą przestrzeń?
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
baza przestrzeni wektorowej
W każdym przypadku trzeba wziąć dowolny wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) z przestrzeni \(\displaystyle{ M(Z_5)}\), zapisać go w postaci bazowej \(\displaystyle{ \vec{v}=\alpha(0,0,1)+\beta(1,0,0)=(\beta,0,\alpha)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) i sprawdzić, czy jest on kombinacją liniową podanych dwóch wektorów.
baza przestrzeni wektorowej
a)
Mamy:
\(\displaystyle{ \alpha (1,1,0)+\beta (0,0,1)+\gamma (0,0,0)=(0,0,0)}\)
no dobra i teraz bierzemy dowolny wektor \(\displaystyle{ v=(x,y,z)}\)
i mamy
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha=x\\ \alpha=y\\ \beta=z\end{array}}\)
no i z tego układu wynika nam że a) nie jest bazą?
b)
\(\displaystyle{ \alpha (1,0,1)+\beta (0,0,1)+\gamma (0,0,0)=(0,0,0)}\)
no i
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha=x\\ \0=y\\ \alpha + \beta=z\end{array}}\)
i jest ok??
Mamy:
\(\displaystyle{ \alpha (1,1,0)+\beta (0,0,1)+\gamma (0,0,0)=(0,0,0)}\)
no dobra i teraz bierzemy dowolny wektor \(\displaystyle{ v=(x,y,z)}\)
i mamy
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha=x\\ \alpha=y\\ \beta=z\end{array}}\)
no i z tego układu wynika nam że a) nie jest bazą?
b)
\(\displaystyle{ \alpha (1,0,1)+\beta (0,0,1)+\gamma (0,0,0)=(0,0,0)}\)
no i
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha=x\\ \0=y\\ \alpha + \beta=z\end{array}}\)
i jest ok??
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
baza przestrzeni wektorowej
Nie do końca o to tu chodzi.
Mamy \(\displaystyle{ \vec{v}=(\beta,0,\alpha)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in Z_5}\). Trzeba zbadać, czy istnieją takie liczby \(\displaystyle{ \gamma,\delta\in Z_5}\), że
a) \(\displaystyle{ \vec{v}=\gamma(1,1,0)+\delta(0,0,1)=(\gamma,\gamma,\delta)}\),
b) \(\displaystyle{ \vec{v}=\gamma(1,0,1)+\delta(0,0,1)=(\gamma,0,\gamma+\delta)}\).
Teraz widać, że w a) taki wybór liczb \(\displaystyle{ \gamma,\delta}\) w zależności od \(\displaystyle{ \lapha,\beta}\) jest niemożliwy. (Mamy bowiem \(\displaystyle{ (\beta,0,\alpha)=(\gamma,\gamma,\delta)}\), skąd \(\displaystyle{ \gamma=0}\), a to dalej dałoby \(\displaystyle{ \beta=0}\) - podczas gdy \(\displaystyle{ \beta}\) nie musi być zerem - wektor \(\displaystyle{ \vec{v}\in M(Z_5)}\) był obrany dowolnie.)
Natomiast w b) drugie współrzędne w obu przedstawieniach wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) są równe zeru i jest szansa, że odpowiednie liczby \(\displaystyle{ \gamma,\delta\in Z_5}\) uda się dobrać.
Pozdrawiam
Mamy \(\displaystyle{ \vec{v}=(\beta,0,\alpha)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in Z_5}\). Trzeba zbadać, czy istnieją takie liczby \(\displaystyle{ \gamma,\delta\in Z_5}\), że
a) \(\displaystyle{ \vec{v}=\gamma(1,1,0)+\delta(0,0,1)=(\gamma,\gamma,\delta)}\),
b) \(\displaystyle{ \vec{v}=\gamma(1,0,1)+\delta(0,0,1)=(\gamma,0,\gamma+\delta)}\).
Teraz widać, że w a) taki wybór liczb \(\displaystyle{ \gamma,\delta}\) w zależności od \(\displaystyle{ \lapha,\beta}\) jest niemożliwy. (Mamy bowiem \(\displaystyle{ (\beta,0,\alpha)=(\gamma,\gamma,\delta)}\), skąd \(\displaystyle{ \gamma=0}\), a to dalej dałoby \(\displaystyle{ \beta=0}\) - podczas gdy \(\displaystyle{ \beta}\) nie musi być zerem - wektor \(\displaystyle{ \vec{v}\in M(Z_5)}\) był obrany dowolnie.)
Natomiast w b) drugie współrzędne w obu przedstawieniach wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) są równe zeru i jest szansa, że odpowiednie liczby \(\displaystyle{ \gamma,\delta\in Z_5}\) uda się dobrać.
Pozdrawiam