Tw: warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby macierz \(\displaystyle{ A \in M _{n}}\) byla unitarnie podobna do macierzy diagonalnej jest, aby macierz \(\displaystyle{ A}\) byla macierzą normalną.
dowód: Udowodnimy najpierw, że jesli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej, to \(\displaystyle{ A}\) jest macierza normalną. Niech \(\displaystyle{ U}\) będzie macierza unitarną taką, że \(\displaystyle{ A=U^{*}DU}\), gdzie \(\displaystyle{ D=diag(d _{1}, ..., d _{n}}\). Latwo widać, że
\(\displaystyle{ DD^{*} = D^{*}D}\)
\(\displaystyle{ AA^{*} = (U^{*}DU)(U ^{*}D^{*}U)=U^{*}DD^{*}U= (U^{*}D^{*}U)(U^{*}DU)=A^{*}A}\), czyli \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą normalną.
Teraz udowodnimy, że jezeli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest normalna, to jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej. Z twierdzenia, ze kazda macierz jest podobna do macierzy trojkątnej gornej wynika, że istenieje macierz unitarna \(\displaystyle{ U \in M _{n}}\), taka, że
\(\displaystyle{ A=U ^{*}TU}\)
gdzie T jest macierza o wyrazach:t _{11} t _{12} .... .... t _{1n}
0 t _{22} .... ..... t _{2n}
T= .........................................................
0 0 .... ..... t _{nn}
z zalożenia, że \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą normalna mamy:
\(\displaystyle{ AA^{*}=A ^{*}A}\)
\(\displaystyle{ AA^{*} = (U^{*}TU)(U ^{*}T^{*}U)=U^{*}(TT^{*})U}\)
\(\displaystyle{ A^{*}A = (U^{*}T^{*}U)(U^{*}TU)=U^{*}(T^{*}T)U}\)
Zatem \(\displaystyle{ TT^{*}=T ^{*}T}\), czyli \(\displaystyle{ T}\) jest macierzą trojkątna gorną. Stą wynika, że
(i tego nie rozumiem, skąd to sie wzięło ? )
\(\displaystyle{ \left|t_{11}\right|^{2} + \left|t_{12}\right|^{2} + ... + \left|t_{1n}\right|^{2} =
\left|t_{11}\right|^{2}}\),
\(\displaystyle{ \left|t_{22}\right|^{2} + \left|t_{23}\right|^{2}+ ... + \left|t_{2n}\right|^{2} =
\left|t_{12}\right|^{2} + \left|t_{22}\right|^{2}}\),
........................................................................................
\(\displaystyle{ \left|t_{nn}\right|^{2}= \left|t_{1n}\right|^{2} + \left|t_{2n}\right|^{2} + ... + \left|t_{nn}\right|^{2}}\).
Z pierwszej z tych rowności wynika, ze \(\displaystyle{ t _{1j} = 0 (j = 2,3,...., n)}\), stąd i z drugiej rowności mamy, \(\displaystyle{ t _{2j} = 0 (j = 3,4,..., n)}\). Z następnych rowności i z warunku, ze \(\displaystyle{ T}\) jest macierza trojkątna gorną. otzrymujemy:
\(\displaystyle{ t _{jk} = 0 (j,k = 1,2,3,....n; j \neq k}\)
.To oznacza, że \(\displaystyle{ T}\) jest macierzą diagonalna, co konczy dowód.-- 13 lip 2010, o 21:01 --widze, że brak oddzewu
doszłam do tego , ze
\(\displaystyle{ \left|t_{11}\right|^{2} + \left|t_{12}\right|^{2} + ... + \left|t_{1n}\right|^{2} =
\left|t_{11}\right|^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|t_{22}\right|^{2} + \left|t_{23}\right|^{2}+ ... + \left|t_{2n}\right|^{2} =
\left|t_{12}\right|^{2} + \left|t_{22}\right|^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|t_{nn}\right|^{2}= \left|t_{1n}\right|^{2} + \left|t_{2n}\right|^{2} + ... + \left|t_{nn}\right|^{2}}\)
powstaje z rozpisania równości TT^{*}=T ^{*}T
tylko dlaczego jest tam modól ?