Witam mam do omówienia szczególne rozwiązania równania macierzowego w ciele \(\displaystyle{ Z ^{3} _{26}->Z ^{3} _{26}}\)
dane równaniem f(v)= Av+b
gdzie:\(\displaystyle{ v,b \in Z ^{3} _{26}}\) a \(\displaystyle{ A \in Z ^{3x}^{3}}\)
mam dane f(17,4,3) = (14,13,4)
do przedyskutowania ilość możliwych wsp A i B
Wydaje mi się że może być ich nieskończenie wiele, ale nie umiem tego udowodnić.
Oraz mam pytanie: jednoznaczne wyznaczenie macierzy A i B możliwe było by w przypadku gdy dane były by 3 pary wektory V i f(V), czy źle myśle?
Ile rozwiązań ma takie równanie
-
szw1710
Ile rozwiązań ma takie równanie
No nie za bardzo, bo w pierścieniu mamy skończenie wiele elementów, więc zarówno macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\), jak i współczynników \(\displaystyle{ b}\), jest skończenie wiele.Wydaje mi się że może być ich nieskończenie wiele, ale nie umiem tego udowodnić.
--- edit
Przeoczyłem, że macierze miały być o wyrazach całkowitych, a nie z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{26}}\). Od razu więc nie odpowiem
--- kolejny edit
Ale jak wobec tego rozumieć wzór \(\displaystyle{ f(v)=Av+b}\), jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) ma mieć wyrazy całkowite? Chyba modulo 26, tzn. \(\displaystyle{ f(v)=(Av+b)\mod 26}\), gdzie dzielenie modulo wykonujemy na wszystkich wyrazach odpowiedniego wektora.
Ile rozwiązań ma takie równanie
tak chodzi o \(\displaystyle{ f(v)=(Av+b) mod 26}\) gdzie współczynniki są całkowite.
ja również popełniłem błąd bo w takim razie jest skończenie wiele macierzy A i b ale macierz A zależy od b, i na odwrót. Chodzi o to że nie znalazłem techniki żeby jednoznacznie wyznaczyć możliwe A i b albo przynajmniej zależność między A i b.
Jedyne co zauważyłem, że niezależnie przez jaki wektor A wymnożymy v można dobrać takie b że Av+b da nam taki wynik jakiego potrzebujemy, co oznacza że takich par jest bardzo dużo i \(\displaystyle{ \wedge A \in Z ^{3x3} \vee b \in Z ^{3} : b=f(v)-Av}\)
a taka jedna para v i f(v) w ograniczeniu zbioru szukanych A i b nie za bardzo nam pomaga
ja również popełniłem błąd bo w takim razie jest skończenie wiele macierzy A i b ale macierz A zależy od b, i na odwrót. Chodzi o to że nie znalazłem techniki żeby jednoznacznie wyznaczyć możliwe A i b albo przynajmniej zależność między A i b.
Jedyne co zauważyłem, że niezależnie przez jaki wektor A wymnożymy v można dobrać takie b że Av+b da nam taki wynik jakiego potrzebujemy, co oznacza że takich par jest bardzo dużo i \(\displaystyle{ \wedge A \in Z ^{3x3} \vee b \in Z ^{3} : b=f(v)-Av}\)
a taka jedna para v i f(v) w ograniczeniu zbioru szukanych A i b nie za bardzo nam pomaga