Wartości własne i przestrzenie własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
vocativus

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: vocativus »

Witam!

Czy istnieje jakaś ogólna metoda na wyznaczanie wartości własnych jeśli chodzi o poniższe zadania?

Przekształcenie \(\displaystyle{ F: M_{5 \times 5} \rightarrow M_{5 \times 5}}\) zadane jest wzorem \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +7A}\). Uzasadnij, że 6 i 8 są wartościami własnymi przekształcenia F i opisz przestrzenie własne dla tych wartości własnych. Czy istnieją inne wartości własne?

Lub podobne: znaleźć wartości własne dla przekształcenia \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +2A}\), lub \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +9A}\) itd.

Z góry dziękuję za pomoc
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: BettyBoo »

Wskazówka: jaki warunek musiałby być spełniony, żeby 6 (8) było wartością własną tego przekształcenia? Jakie są wymiary przestrzeni własnych?

Pozdrawiam.
vocativus

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: vocativus »

F(A) = K * A, gdzie K to wartość własna, i przestrzenie własne to dla 6 będzie zbiór macierzy antysymetrycznych, a dla 8 zbiór symetrycznych, dobrze myślę?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: BettyBoo »

Tak, dobrze myślisz. Aby odpowiedzieć na drugą część pytania wystarczy ustalić wymiary tych dwóch podprzestrzeni.

Pozdrawiam.
vocativus

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: vocativus »

z tym już będzie problem Strzelam że jedna będzie wymiaru 2 a druga 3...
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: BettyBoo »

Hoho, to strzeliłeś

Wymiar przestrzeni macierzy stopnia 5 to 25 (bazą kanoniczną są macierze z dokładnie jedną jedynką). Zatem, jaki jest wymiar podprzestrzeni macierzy symetrycznych stopnia 5? (innymi słowy - ile dowolnych elementów ma macierz symetryczna stopnia 5?) Dla macierzy antysymetrycznych też ustal.

Pozdrawiam.
vocativus

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: vocativus »

Dla symetrycznych: \(\displaystyle{ A ^{T} = A}\) Czyli na głównej przekątnej 5 + powyżej przekątnej 4 + 3 + 2 + 1, poniżej to samo więc jest wymiar 15

Dla antysymetrycznych \(\displaystyle{ A ^{T} = -A}\) Czyli na głównej przekątnej muszą być 0 i powyżej to samo co poniżej czyli 4 + 3 + 2 + 1 czyli wymiar 10

Wybacz takie braki, ale mam beznadziejnego wykładowcę z algebry który woli coś pół godziny udowadniać, niż uczyć jak co policzyć...

Dzięki za pomoc
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: BettyBoo »

vocativus pisze:Czyli na głównej przekątnej muszą być 0 i powyżej to samo co poniżej czyli 4 + 3 + 2 + 1 czyli wymiar 10
No raczej poniżej to, co powyżej, tylko z przeciwnymi znakami.

W każdym razie - co oznacza to, co właśnie obliczyłeś?

Pozdrawiam.
vocativus

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: vocativus »

no z przeciwnym znakiem

Co oznacza? Przestrzenią własną dla wartości własnej 8 to zbiór macierzy symetrycznych o wym 15, dla wartości własnej 6 zbiór macierzy antysymetrycznych o wym. 10.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: BettyBoo »

No właśnie. Więc suma wymiarów przestrzeni własnych jest równa 25. Jaki z tego wniosek?

Pozdrawiam.
vocativus

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: vocativus »

że więcej wartości własnych nie ma Jesteś genialna
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wartości własne i przestrzenie własne

Post autor: BettyBoo »

No i widzisz, jakie to proste A dowody są ważne - często pokazują (wskazują) sposób myślenia.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ