Wartości własne i przestrzenie własne
Wartości własne i przestrzenie własne
Witam!
Czy istnieje jakaś ogólna metoda na wyznaczanie wartości własnych jeśli chodzi o poniższe zadania?
Przekształcenie \(\displaystyle{ F: M_{5 \times 5} \rightarrow M_{5 \times 5}}\) zadane jest wzorem \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +7A}\). Uzasadnij, że 6 i 8 są wartościami własnymi przekształcenia F i opisz przestrzenie własne dla tych wartości własnych. Czy istnieją inne wartości własne?
Lub podobne: znaleźć wartości własne dla przekształcenia \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +2A}\), lub \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +9A}\) itd.
Z góry dziękuję za pomoc
Czy istnieje jakaś ogólna metoda na wyznaczanie wartości własnych jeśli chodzi o poniższe zadania?
Przekształcenie \(\displaystyle{ F: M_{5 \times 5} \rightarrow M_{5 \times 5}}\) zadane jest wzorem \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +7A}\). Uzasadnij, że 6 i 8 są wartościami własnymi przekształcenia F i opisz przestrzenie własne dla tych wartości własnych. Czy istnieją inne wartości własne?
Lub podobne: znaleźć wartości własne dla przekształcenia \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +2A}\), lub \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +9A}\) itd.
Z góry dziękuję za pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wartości własne i przestrzenie własne
Wskazówka: jaki warunek musiałby być spełniony, żeby 6 (8) było wartością własną tego przekształcenia? Jakie są wymiary przestrzeni własnych?
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
Wartości własne i przestrzenie własne
F(A) = K * A, gdzie K to wartość własna, i przestrzenie własne to dla 6 będzie zbiór macierzy antysymetrycznych, a dla 8 zbiór symetrycznych, dobrze myślę?
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wartości własne i przestrzenie własne
Tak, dobrze myślisz. Aby odpowiedzieć na drugą część pytania wystarczy ustalić wymiary tych dwóch podprzestrzeni.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
Wartości własne i przestrzenie własne
z tym już będzie problem Strzelam że jedna będzie wymiaru 2 a druga 3...
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wartości własne i przestrzenie własne
Hoho, to strzeliłeś
Wymiar przestrzeni macierzy stopnia 5 to 25 (bazą kanoniczną są macierze z dokładnie jedną jedynką). Zatem, jaki jest wymiar podprzestrzeni macierzy symetrycznych stopnia 5? (innymi słowy - ile dowolnych elementów ma macierz symetryczna stopnia 5?) Dla macierzy antysymetrycznych też ustal.
Pozdrawiam.
Wymiar przestrzeni macierzy stopnia 5 to 25 (bazą kanoniczną są macierze z dokładnie jedną jedynką). Zatem, jaki jest wymiar podprzestrzeni macierzy symetrycznych stopnia 5? (innymi słowy - ile dowolnych elementów ma macierz symetryczna stopnia 5?) Dla macierzy antysymetrycznych też ustal.
Pozdrawiam.
Wartości własne i przestrzenie własne
Dla symetrycznych: \(\displaystyle{ A ^{T} = A}\) Czyli na głównej przekątnej 5 + powyżej przekątnej 4 + 3 + 2 + 1, poniżej to samo więc jest wymiar 15
Dla antysymetrycznych \(\displaystyle{ A ^{T} = -A}\) Czyli na głównej przekątnej muszą być 0 i powyżej to samo co poniżej czyli 4 + 3 + 2 + 1 czyli wymiar 10
Wybacz takie braki, ale mam beznadziejnego wykładowcę z algebry który woli coś pół godziny udowadniać, niż uczyć jak co policzyć...
Dzięki za pomoc
Dla antysymetrycznych \(\displaystyle{ A ^{T} = -A}\) Czyli na głównej przekątnej muszą być 0 i powyżej to samo co poniżej czyli 4 + 3 + 2 + 1 czyli wymiar 10
Wybacz takie braki, ale mam beznadziejnego wykładowcę z algebry który woli coś pół godziny udowadniać, niż uczyć jak co policzyć...
Dzięki za pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wartości własne i przestrzenie własne
No raczej poniżej to, co powyżej, tylko z przeciwnymi znakami.vocativus pisze:Czyli na głównej przekątnej muszą być 0 i powyżej to samo co poniżej czyli 4 + 3 + 2 + 1 czyli wymiar 10
W każdym razie - co oznacza to, co właśnie obliczyłeś?
Pozdrawiam.
Wartości własne i przestrzenie własne
no z przeciwnym znakiem
Co oznacza? Przestrzenią własną dla wartości własnej 8 to zbiór macierzy symetrycznych o wym 15, dla wartości własnej 6 zbiór macierzy antysymetrycznych o wym. 10.
Co oznacza? Przestrzenią własną dla wartości własnej 8 to zbiór macierzy symetrycznych o wym 15, dla wartości własnej 6 zbiór macierzy antysymetrycznych o wym. 10.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wartości własne i przestrzenie własne
No właśnie. Więc suma wymiarów przestrzeni własnych jest równa 25. Jaki z tego wniosek?
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wartości własne i przestrzenie własne
No i widzisz, jakie to proste A dowody są ważne - często pokazują (wskazują) sposób myślenia.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.