Aby układ wektorów \(\displaystyle{ v_1, ..., v_k}\) był bazą musi spełniać następujące warunki:Sprawdź z definicji, że układ wielomianów \(\displaystyle{ 1-x}\), \(\displaystyle{ 2x+x^2}\), \(\displaystyle{ 1+x-x^2}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R_2[x]}\).
- układ ten generuje przestrzeń \(\displaystyle{ V = Lin\{v_1, ..., v_k\}}\) - tego nie umiem sprawdzić
- układ ten jest liniowo niezależny - to umiem sprawdzić
(UWAGA techniczna: \(\displaystyle{ \mathbb 1}\) powinno oznaczać 1 z podwójną pionową kreską, jak np. w \(\displaystyle{ \mathbb {I, R}}\), ale nie potrafię tego wykrzesać z TeXa... BTW. co to wogóle oznacza ta jedynka z podwójną pionową kreską? Bo mi się wydaje, że to chyba oznacza jakąś liczbę, chyba różną od zera, ponieważ mam podane takie coś: \(\displaystyle{ Lin\{\mathbb 1\}=\{t : t \in \mathbb R\}}\) i dodatkowo \(\displaystyle{ \mathbb 1 \neq 0}\))
\(\displaystyle{ v_0=\mathbb 1}\), \(\displaystyle{ v_1=x}\), \(\displaystyle{ v_2=x^2}\), \(\displaystyle{ v_3=x^3}\)
Układ ten generuje całą przestrzeń V, gdyż:
\(\displaystyle{ Lin\{v_0,v_1,v_2,v_3\}=Lin\{\mathbb{1},x,x^2,x^3\}=
\\=\{a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 : a_0,a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}\} = R_3[x]=V}\)
Ale nie wiem, jak to zastosować do mojego zadania...
Jeśli podstawię, to mogę to doprowadzić do następującej postaci:
\(\displaystyle{ Lin\{v_0,v_1,v_2\} = \{(t_1+t_3)+(-t_1+2t_2+t_3)x+(t_2-t_3)x^2:t_1,t_2,t_3\in\mathbb R\}}\), ale co z tego wynika?
-- dzisiaj, o 20:02 --
Na podstawie post613263.htm?hilit=uk%C5%82ad%20wielomian%C3%B3w%20baza%20przestrzeni#p613263 wywnioskowałem:
Oznaczmy \(\displaystyle{ v_0=1-x}\), \(\displaystyle{ v_1=2x+x^2}\), \(\displaystyle{ v_2=1+x-x^2}\), wtedy mamy:
\(\displaystyle{ 1= \frac{3v_1+v_2+v_3}{4}}\), potrzeba jeszcze uzyskać: \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ x^2}\), a to będzie wymagało rozwiązania układów równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
t_1+t_3 = 0 \\
-t_1+2t_2+t_3 = 1 \\
t_2-t_3 = 0
\end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases}
t_1+t_3 = 0 \\
-t_1+2t_2+t_3 = 0 \\
t_2-t_3 = 1
\end{cases}}\), tak?
Jest jakaś inna (łatwiejsza, szybsza, lepsza) metoda?
