wymiar przestrzeni

[ignis]

Witam ile wynosi \(\displaystyle{ dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}}\). I dlaczego? Proszę o wyjaśneinie?
Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Na mój gust to będzie \(\displaystyle{ dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2}\)

ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}=\mathbb{C}}\)

ale nie wiem czy to jest poprawny tok rozumowania

[ignis]

hmm to jest ktoś kto to potwierdzi?? Też myślałem o takim rozwiązaniu.

[Ein]

Wymiar algebraiczny wynosi 2. Mamy dwa wektory liniowo niezależne \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ i}\) rozpinające całą przestrzeń nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Czyli \(\displaystyle{ \{1,i\}}\) stanowi bazę przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).

Polecam zajrzeć tutaj: post752429.htm#p752429

[Mariusz M]

Ein, wektorami bazowymi nie muszą być \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ i}\)

Z tego co pamiętam ważne jest aby każdą liczbę zespoloną przedstawić za
pomocą kombinacji liniowej wektorów bazowych

Ale tak rzeczywiście wymiar wynosi dwa

Myślałem że wystarczy skorzystać z tego że zbiór liczb zespolonych
jest iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów rzeczywistych

[Ein]

Ein, wektorami bazowymi nie muszą być \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ i}\)

Nie muszą. Może być inna baza, grunt, żeby wskazać dwa wektory niezależne liniowo i pokazać, że generują całą przestrzeń.

Myślałem że wystarczy skorzystać z tego że zbiór liczb zespolonych
jest iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów rzeczywistych

Absolutnie nie. Wymiar algebraiczny zależy od struktury wektorowej, a nie od topologiczno-mnogościowej (od tej zależą inne wymiary, np. pokryciowy -- ale my tu mówimy o wymiarze algebraicznym).