[Sprawdzenie] Kanonizacja formy kwadratowej

[filip.wroc]

Mam doprowadzic forme kwadratowa stowarzyszona z nastepujaca forma dwuliniowa:
\(\displaystyle{ A(x, y)=x_1 y_2 + x_1 y_3 + x_2 y_3 + x_3 y_3}\)
do postaci kanonicznej i wskazac baze tej postaci.

Wiec mamy tak:
\(\displaystyle{ B(x) = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + {x_3}^2 =\\
x_1 x_2 + ( x_1 x_3 + x_2 x_3 + {x_3}^2 ) =\\
x_1 x_2 + (\frac{x_1}{2} + \frac{x_2}{2} + x_3)^2 - \frac{{x_1}^2}{4} - \frac{{x_2}^2}{4} - \frac{x_1 x_2}{4} = \\
/* y_1 = \frac{x_1}{2} + \frac{x_2}{2} + x_3 */ \\
{y_1}^2 - \frac{{x_1}^2}{4} - \frac{{x_2}^2}{4} + \frac{3}{4}x_1 x_2 =\\
{y_1}^2 - \frac{1}{4} [ (x_1 + \frac{3}{2}x_2)^2 - \frac{9}{4} {x_2}^2 ] - \frac{{x_2}^2}{4} =\\
/* y_2 = x_1 + \frac{3}{2}x_2 */\\
{y_1}^2 - \frac{1}{4} {y_2}^2 - \frac{5}{16} {x_2}^2=\\
/* y_3 = x_2 */\\
{y_1}^2 - \frac{1}{4} {y_2}^2 - \frac{5}{16} {y_3}^2}\)

Teraz trzeba okreslic baze dla tych nowych y.
Zakladam ze wczesniej mielismy baze standardowa \(\displaystyle{ e_1 = (1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 0), e_3 = (0, 0, 1)}\), to teraz mamy:
\(\displaystyle{ f_1 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1)\\
f_2 = (1, \frac{3}{2}, 0)\\
f_3 = (0, 1, 0)}\)

Dobrze rozumiem? Czy zalozenie, ze mielismy wczesniej baze standardowa jest poprawne, czy odpowiedz mozemy podac tylko jako macierz przejscia? Czy po drodze popelnilem jakis blad? Wszelkie komentarze beda mile widziane.

PS. Do moderatorow: przepraszam, ze zalozylem ten temat. Nie poszukalem wczesniej na forum, to moj blad. Prosze o usuniecie go.