Rząd macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
mikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 26 cze 2010, o 00:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rząd macierzy

Post autor: mikku »

Witam, mam pytanie odnośnie jednego zadanka. Oto one:
Jaki jest rząd macierzy
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}6&4&1&A\\3&2&B&11\end{array}\right]}\)
, jeżeli wiadomo, że układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x+4y+z=A\\3x+2y+Bz=11\end{cases}}\)
jest sprzeczny? Odpowiedź uzasadnić.

Rozwiązując ten układ równań, dostaję takie coś:
\(\displaystyle{ z= \frac{A-22}{1-2B}}\) Więc z tego wynika, że \(\displaystyle{ B\neq \frac{1}{2}}\)
Czyli wiemy, że pierwszy wiersz macierzy jest różny od drugiego. Ale co dalej? Doprowadzić macierz do macierzy schodkowej? Czy to będzie wystarczające uzasadnienie? Rząd macierzy wyjedzie 2?
Dziękuje za odpowiedź. Pozdrawiam.
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Rząd macierzy

Post autor: sushi »

jezeli jest sprzeczny, to drugie rownanie pomnoz przez 2, przy "z" musi stac to samo, a po prawej stronie musza byc rozne liczby

-- 30 czerwca 2010, 13:50 --

aby byl sprzeczy musisz miec takie cos np:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z =5 \\ x+y +z= 6 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 30 cze 2010, o 14:50 przez sushi, łącznie zmieniany 1 raz.
mikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 26 cze 2010, o 00:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rząd macierzy

Post autor: mikku »

Co to znaczy, że przy z musi stać to samo? Tak zrobiłem. Pomnożyłem drugie równanie razy 2 i odjąłem je od siebie. Wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ z-2Bz=A-22\\z(1-2B)=A-22}\)
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Rząd macierzy

Post autor: sushi »

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x+4y+z=A\\6x+4y+2Bz=22\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 1= 2B}\) ==> \(\displaystyle{ B= \frac{1}{2}}\)

aby byl sprzeczny

\(\displaystyle{ \begin{cases} B= \frac{1}{2} \\ A \neq 22 \end{cases}}\)-- 30 czerwca 2010, 13:56 --rzad macierzy przy wspolczynnikach "x,y,z" bedzie 1 , a rzad macierzy uzupelniowej o kolumne wyrazu wolnego bedzie 2 np: dla pierwszej i ostatniej kolumny (jak dasz np: A=0, aby sie nie meczyc przy liczeniu)
mikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 26 cze 2010, o 00:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rząd macierzy

Post autor: mikku »

To przechodząc do drugiej części zadania, za B podstawiam 1/2 a za A jakąś liczbę różną niż 22 i sprawdzam rząd macierzy, tak?
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Rząd macierzy

Post autor: sushi »

macierz wspolczynnikow

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}6&4&1\\3&2&B\end{array}\right]}\)

tutaj rzad 1

macierz uzupelniona

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}6&4&1&A\\3&2&B&11\end{array}\right]}\)

tutaj rzad 2, jak wyjdzie rzad 1, to znaczy ze uklad nieoznaczony (dwa rownania pokrywajace sie)
mikku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 26 cze 2010, o 00:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rząd macierzy

Post autor: mikku »

Czyli uzasadnienie to tego zadania będzie wyglądało tak, że macierz uzupełniona będzie rzędu 1 ponieważ te 2 równania nie mogą być pokrywające się jeżeli wiemy, że ten układ tych równań jest sprzeczny?
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Rząd macierzy

Post autor: sushi »

sushi pisze: macierz uzupelniona

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}6&4&1&A\\3&2&B&11\end{array}\right]}\)

tutaj rzad 2, jak wyjdzie rzad 1, to znaczy ze uklad nieoznaczony (dwa rownania pokrywajace sie)

jak wyjdzie rzad 1, to znaczy ze uklad nieoznaczony (dwa rownania pokrywajace sie)

czytamy ze zrozumieniem
ODPOWIEDZ