Macierz formy kwaratowej.

[Cbgirl]

Wypisz macierz formy kwadratowej:

\(\displaystyle{ Q_1: 2x_1x_3 -2x_1x_4 + x^2_2 + 2x_2x_3 + 2x_2x_4 + 2x^2_3 + 2x_3x_4 = 0}\)
\(\displaystyle{ Q_2: 2x^2_1 -2x_1x_3 + x^2_2 -2x_2x_3 + 2x_3x_4- x^2_4=0}\)

[sushi]

poczytaj od własnosci



\(\displaystyle{ a_{ij}}\) to liczba co stoi przy \(\displaystyle{ x_ix_j}\)-- 30 czerwca 2010, 08:58 --97575.htm
masz podobne

[Cbgirl]

ja probowalam, ale nie moge sobie poradzic z tym zadaniem:(

[sushi]

to pokaz jak liczysz, to sie zobaczy co i jak

w wierszach masz kolejno

\(\displaystyle{ x_1x_1}\), \(\displaystyle{ x_1x_2}\), \(\displaystyle{ x_1x_3}\), \(\displaystyle{ x_1x_4}\)

\(\displaystyle{ x_2x_1}\), \(\displaystyle{ x_2x_2}\), \(\displaystyle{ x_2x_3}\), \(\displaystyle{ x_2x_4}\)

...

i spisujesz te wspolczynniki, jak nie ma jakiegos \(\displaystyle{ x_ix_j}\) to dajesz 0

jak masz \(\displaystyle{ 2x_2x_3}\) to wpisujesz \(\displaystyle{ 1}\) dla miejsca \(\displaystyle{ x_2x_3}\) i \(\displaystyle{ x_3x_2}\)

[Cbgirl]

Ok.... A wiec tak: odwzorowanie dla mojej kwadryki bedzie wygladalo tak :

\(\displaystyle{ \sigma (v,w)= 1/4(f(v+w) - f(v-w)), u,v \in R^4}\)

\(\displaystyle{ v=(x_1,...,x_4), w=(y_1,...,y_4)}\), a wiec podstawilam i wyliczylam kolejno:

\(\displaystyle{ f(v+w)=..... i f(v-w)=....}\)

a nastepnie
\(\displaystyle{ f(v+w)-f(v-w)= 4x_1y_3+4y_1x_3 + 4x_1y_1x_4- 4y_1x_4 + 4x_2y_2 +4x_2y_4 +4y_2x_3 +4x_2y_4+8x_3y_3+4x_3y_4+4y_3x_4}\)

a wiec
\(\displaystyle{ \sigma((x_1,...,x_4),(y_1,...,y_4))= x_1y_3+y_1x_3 + x_1y_1x_4- y_1x_4 + x_2y_2 +x_2y_4 +y_2x_3 +x_2y_4+2x_3y_3+x_3y_4+y_3x_4}\)

a wiec moja macierz jest posataci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&1&1\\0&1&0&2\\1&1&2&1\\ -1&1&1&0\end{array}\right]}\)


a wiedz chyba juz wiem, jak mam wyznaczyc matryce z formy kwadratowej (zgadza sie?). ale dalej w poleceniu jest, ze mam sprowadzic kwadryke do "postaci normalnej". Czyli co powinnam dalej zrobic??-- 30 cze 2010, o 10:30 --ach nieee! moja macierz jest zla!! jeszcze raz ta prawdilowa:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&1&-1\\0&1&1&0\\1&1&2&1\\ -1&0&1&0\end{array}\right]}\)

[sushi]

w pierwszym poscie pisalas o czym innym, a teraz w TYM czyms wyskakujesz
i nigdzie nie podalas przepisu na \(\displaystyle{ f(x)=...}\)

[Cbgirl]

poprawka: mam sprowadzic kwadryke do postaci normalnej:

I oto co z moich obliczen wyszlo:


\(\displaystyle{ Q: 2x_1x_3 - 2x_1x_4 +x^2_2 + 2x_2x_3 + 2x_2x_4 + 2x^2_3 + 2x_3x_4.}\)
A wiec tak:

\(\displaystyle{ A= [\left\[\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1& -1 \\
0 & 1 & 1& 1 \\
1 & 1 & 2& 1 \\
-1 & 1 & 1& 0 \\
\end{array}\right]}\)
Transformuje moje A i szukam jej wartosci wlasnych i wektorow wlasnych:

\(\displaystyle{ (A- \lambda E)= [ \left\[\begin{array}{cccc}
- \lambda & 0 & 1& -1 \\
0 & 1- \lambda & 1& 1 \\
1 & 1 & 2- \lambda& 1 \\
-1 & 1 & 1& - \lambda \\
\end{array}\right] =( \lambda)^4 - 3( \lambda)^3- 3( \lambda)^2 + 7 \lambda= 0}\)
a wiec wartosci wlasne: (-1,6;0;1,34;3,26)
i wektory wlasne:

WW do -1,6: \(\displaystyle{ (0.9;-0.2;-0.48;1)}\)
WW do 0: \(\displaystyle{ (-1; -2; 1; 1)}\)
WW do 1,34: \(\displaystyle{ (-1,3; 0.78; -074; 1)}\)
WW do 3,26; \(\displaystyle{ (0.37; 1,42; 2,21; 1)}\)

ale nie wiem co dalej... te wektory wlasne nie sa tez liczbami calkowitymi. Liczylam je chyba juz z 10 razy... Co robie zle?????? Nie mam pojecia jak dalej sprowadzic ta kwadryke do tej postaci normalnej

[sushi]

ten wielomian taki wychodzi, tez szybko policzylem-- 30 czerwca 2010, 14:31 --to nie moja branża, wiec tylko odpowiedzialem na pierwszy post, niech sie wypowiedzia fachowcy