Funkcja liniowa f(x)=x. Pytanie

[veldrim]

Witam.

Mam pewien taki dylemat. Chciałbym, abyście napisali mi czy dobrze myślę. Jeżeli nie to nakierujcie mnie na jakiś trop, będę wam wdzięczny.

\(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\)
\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

1. Jest to bijekcja. Stąd wniosek, że jest izomorfizmem. Dobrze myślę?
2. Jeżeli działa z R na R to jest endomorfizmem.
3. A jeżeli coś jest odwzorowaniem izomorficznym i endomorficznym to jest odwzorowaniem automorficznym. Tak?

[Mikolaj9]

Jest to bijekcja. Stąd wniosek, że jest izomorfizmem. Dobrze myślę?

Nie każda bijekcja jest izomorfizmem. Ta akurat jest.

[veldrim]

W takim razie zastanowię się nad tym, co napisałeś i coś sam pokombinuje. Znajdę przykład na poparcie Twojego zdania, może wtedy lepiej coś zrozumiem.

Dzięki.

A reszta dobrze?

[Mikolaj9]

Reszta nie wiem czy dobrze.

[Ein]

Najpierw stwierdzasz, jaka struktura algebraiczna jest na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Powiedzmy, że jest to przestrzeń liniowa nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), czyli jest to coś więcej niż \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), ale robimy wzajemnie jednoznaczne utożsamienie \(\displaystyle{ \mathbf{x}\simeq x}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\) należy do przestrzeni liniowej, a \(\displaystyle{ x}\) należy do ciała skalarów. Strukturę zadajesz tak:

\(\displaystyle{ \forall \alpha\in\mathbb{R}\ \forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}: \alpha \mathbf{x}:=\alpha x}\)
\(\displaystyle{ \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}: \mathbf{x}+\mathbf{y}:=x+y}\)

gdzie pogrubione \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\) to wektor odpowiadający \(\displaystyle{ x}\). \(\displaystyle{ \alpha}\) to skalary.

Teraz musisz pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe (\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)-liniowe), czyli \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)-jednorodne (\(\displaystyle{ \forall \alpha\in\mathbb{R}\ \forall x\in\mathbb{R}: f(\alpha x)=\alpha f(x)}\) - zauważ, że pierwszy kwantyfikator odnosi się do skalarów z ciała \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), a drugi do przestrzeni wektorów \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (pogrubione \(\displaystyle{ \mathbf{x}}\)) (czyli zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wraz ze strukturą wektorową)) i addytywne (\(\displaystyle{ \forall x,y\in\mathbb{R}: f(x+y)=f(x)+f(y)}\)).

Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe i jest bijekcją, to jest izomorfizmem (to jest definicja!). Ponieważ jest homomorfizmem w siebie, więc mówimy, że jest endomorfizmem.

Endomorfizm, który jest izomorfizmem, jest nazywany automorfizmem.

I faktycznie, nie każda bijekcja jest izomorfizmem, bo nie musi być liniowa (czyli nie jest homomorfizem). Np. \(\displaystyle{ g(x)=x^3}\) jest bijekcją, nawet ciągłą, ale nie jest liniowa (nie jest ani jednorodna, ani addytywna).


I drobna uwaga na koniec: na przestrzeniach nieskończenie wymiarowych wymaga się zazwyczaj, by izomorfizm był ciągły. Na skończenie wymiarowych każde przekształcenie liniowe jest ciągłe.