bazy obrazu i jadra przeksztalcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
aniolekkkkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 9 lis 2009, o 19:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

bazy obrazu i jadra przeksztalcenia liniowego

Post autor: aniolekkkkk »

Należy znaleźć bazy obrazu i jadra takiego przekształcenia:
\(\displaystyle{ \varphi((x,y,z))=(x+2y-z,x+y+2z,2x+3y+z)}\)
Prosze o jak najprostsze wytlumaczenie jak sie to robi...

-- 25 cze 2010, o 15:58 --

Czy to robimy w ten sposob?? prosze o podpowiedz.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\1&1&2\\2&3&1\end{array}\right] \Rightarrow
\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&-1&3\\0&1&-3\end{array}\right] \Rightarrow
\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&1&-3\\0&0&0\end{array}\right]}\)


wiec robimy taki uklad

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y-z=0\\y-3z=0\\z=t \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-5z\\y=3z\\z=t \end{array}}\)

czyli
\(\displaystyle{ Ker(\varphi)=\lbrace t(-5,3,1):t\in R \rbrace}\)
silvaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1300
Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 123 razy

bazy obrazu i jadra przeksztalcenia liniowego

Post autor: silvaran »

Tak, jądro znalezione prawidłowo Mogłes też doprowadzić macierz do postaci wierszowo zredukowanej zamiast do trapezowej i znaleźć rozwiązania układu jednorodnego, ale tak też jest dobrze i wychodzi tak jak powinno wyjść
aniolekkkkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 9 lis 2009, o 19:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

bazy obrazu i jadra przeksztalcenia liniowego

Post autor: aniolekkkkk »

No to jeszcze obraz.
Czy odczytujemy go z naszego ukladu rownan w ten sposob:

\(\displaystyle{ Imf=x(1,0,0)+y(2,1,0)+z(-1,-3,1)}\)

wiec

\(\displaystyle{ Imf=Lin \lbrace(1,0,0),(2,1,0),(-1,-3,1) \rbrace}\)
silvaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1300
Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 123 razy

bazy obrazu i jadra przeksztalcenia liniowego

Post autor: silvaran »

Właśnie nie tak, bo obraz to wszystkie te wektory które przechodzą w kolumny macierzy jednostkowej w postaci wierszowo zredukowanej macierzy przekształcenia Czyli (1,1,2) i (2,1,3)
Wymiar przestrzeni jest 3, a suma wymiarów jądra i obrazu musi być równa wymiarowi przestrzeni, czyli skoro w jądrze wyszedł 1 wektor w bazie to w obrazie muszą być 2
ODPOWIEDZ