Forma kwadratowa
Forma kwadratowa
Mam taki problem. Podaną formę kwadratową:\(\displaystyle{ x _{1}x _{2}+x _{1}x _{3}+x _{2}x _{3}+ x _{3} ^{2}}\) sprowadzić do postaci kanonicznej, a potem wskazać bazę \(\displaystyle{ f_{1} ,f_{2} ,f_{3}}\)otrzymanej postaci kanonicznej. Sprowadziłem tą formę 2 sposobami do postaci kanonicznej jednak nigdy nie wychodzi mi 3 składnik sumy kwadratów przez to nie mogę wyznaczyć bazy. Ma ktoś jakiś pomysł?
Forma kwadratowa
No ja to robiłem dwoma sposobami. Przez podstawienie i przez kombinowanie z wzorami skróconego mnożenia. Pokaże tutaj tą drugą bo jest szybsza i mniej pisania
\(\displaystyle{ x _{1}x _{2}+x _{1}x _{3}+x _{2}x _{3}+ x _{3} ^{2}={( \frac{x _{1}}{2}+ \frac{x _{2}}{2}+x _{3})}^{2}+ \frac{1}{2}x _{1}x _{2}- \frac{x _{1} ^{2}}{4}-\frac{x _{2} ^{2}}{4}={( \frac{x _{1}}{2}+ \frac{x _{2}}{2}+x _{3})}^{2}-{( \frac{x _{1}}{2}- \frac{x _{2}}{2})}^{2}}\)
No, ale niestety tu mam tylko 2 składniki, a potrzebuje jeszcze trzeciego?
\(\displaystyle{ x _{1}x _{2}+x _{1}x _{3}+x _{2}x _{3}+ x _{3} ^{2}={( \frac{x _{1}}{2}+ \frac{x _{2}}{2}+x _{3})}^{2}+ \frac{1}{2}x _{1}x _{2}- \frac{x _{1} ^{2}}{4}-\frac{x _{2} ^{2}}{4}={( \frac{x _{1}}{2}+ \frac{x _{2}}{2}+x _{3})}^{2}-{( \frac{x _{1}}{2}- \frac{x _{2}}{2})}^{2}}\)
No, ale niestety tu mam tylko 2 składniki, a potrzebuje jeszcze trzeciego?
Forma kwadratowa
Ja robię to tak do \(\displaystyle{ x _{1}x _{2}+x _{1}x _{3}+x _{2}x _{3}+x _ {3} ^{2}}\) zastosuję podstawienie
\(\displaystyle{ x _{1}=y _{1}+y _{2},
x _{2}=y _{1}-y _{2},
x _{3}=y _{3}}\)
a wtedy mamy
\(\displaystyle{ y _{1} ^{2}-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}+2y _{1}y _{3}}\)
dalej rachunki \(\displaystyle{ (y _{1} ^{2}+2y _{1}y _{3})-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}=(y _{1}+y _{3}) ^{2}-y _{3} ^{2}-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}}\)
podstawmy tak
\(\displaystyle{ y _{1}+y _{3}=z _{1} ,
y _{2}=z _{2},
y _{3}=z _{3}.}\)
Przedstawmy x za pomocą z:
\(\displaystyle{ x _{1}=z _{1}+z _{2}-z _{3},
x _{2}=z _{1}-z _{2}-z _{3},
x _{3}=z _{3}}\)
Więc teraz mamy bazę\(\displaystyle{ B=\{(1,1,0),(1,-1,0),(-1,-1,1)\}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=y _{1}+y _{2},
x _{2}=y _{1}-y _{2},
x _{3}=y _{3}}\)
a wtedy mamy
\(\displaystyle{ y _{1} ^{2}-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}+2y _{1}y _{3}}\)
dalej rachunki \(\displaystyle{ (y _{1} ^{2}+2y _{1}y _{3})-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}=(y _{1}+y _{3}) ^{2}-y _{3} ^{2}-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}}\)
podstawmy tak
\(\displaystyle{ y _{1}+y _{3}=z _{1} ,
y _{2}=z _{2},
y _{3}=z _{3}.}\)
Przedstawmy x za pomocą z:
\(\displaystyle{ x _{1}=z _{1}+z _{2}-z _{3},
x _{2}=z _{1}-z _{2}-z _{3},
x _{3}=z _{3}}\)
Więc teraz mamy bazę\(\displaystyle{ B=\{(1,1,0),(1,-1,0),(-1,-1,1)\}}\)
Forma kwadratowa
Anka, na egzaminie zrobiłem dokładnie tak samo, tylko
\(\displaystyle{ y _{1} ^{2}+2y _{1}y _{3})-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}=(y _{1}+y _{3}) ^{2}-y _{3} ^{2}-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}}\)
W ostatniej linijce \(\displaystyle{ y _{3} ^{2}}\) skraca się bo jest z plusem i minusem? Tak może być? Bo ja właśnie skróciłem i mi nie wyszło.
\(\displaystyle{ y _{1} ^{2}+2y _{1}y _{3})-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}=(y _{1}+y _{3}) ^{2}-y _{3} ^{2}-y _{2} ^{2}+y _{3} ^{2}}\)
W ostatniej linijce \(\displaystyle{ y _{3} ^{2}}\) skraca się bo jest z plusem i minusem? Tak może być? Bo ja właśnie skróciłem i mi nie wyszło.
Forma kwadratowa
Może tak być jak tutaj że się skraca, a żeby sprawdzić to można wziąźć macierz formy
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} &0& \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &1\end{array}\right]}\) i macierz z bazy P=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&-1&-1\\0&0&1\end{array}\right]}\) i wymnożyć\(\displaystyle{ P ^{T}AP}\) i wtedy powinna wyjść taka macierz jak postać kanoniczna
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} &0& \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &1\end{array}\right]}\) i macierz z bazy P=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&-1&-1\\0&0&1\end{array}\right]}\) i wymnożyć\(\displaystyle{ P ^{T}AP}\) i wtedy powinna wyjść taka macierz jak postać kanoniczna
Forma kwadratowa
ach to dzięki wielkie. Nigdzie takiego przykładu nie widziałem, ale oczywiście na egzaminie musiał się pojawić ;p