jądro, obraz przekształcenia

[anka2010]

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L:R ^{4} \rightarrow R ^{3}}\) dane jest wzorem
\(\displaystyle{ L(x,y,z,t)=(x+5y+4z+t,3x+y+2z+t,5x+4y+5z+2t).}\) Uzasadnić, że \(\displaystyle{ v=(1,1,-1,-2) \in KerL, w=(4,0,2) \in ImL}\) oraz uzupełnić (jeśli to konieczne) każdy z tych wektorów do bazy odpowiednio KerL i ImL.

[silvaran]

Aby wykazać, że \(\displaystyle{ v \in Ker L}\) wystarczy sprawdzić czy \(\displaystyle{ L(v)=0}\).
A co do Im L to trzeba sprawdzić, czy istnieje taki wektor \(\displaystyle{ u=(x,y,z,t)}\) że \(\displaystyle{ L(u)=(4,0,2)}\). Musisz rozwiązać układ równań.