WKW: Relacja zgodna z działaniem w grupie

[edopiito-1]

Witam, mam problem z jednym z twierdzeń obowiązującym mnie na egzaminie z algebry liniowej, mianowicie:

WKW na to, by relacja równoważnościowa w grupie była zgodna z działaniami.
Niestety moje notatki w tym fragmencie wykładu są niezupełne, natomiast ani Kostrikin, ani internet nie potrafią odpowiedzieć mi na pytanie: jaka jest wypowiedź tego twierdzenia, a następnie jak je udowodnić? Będę bardzo wdzięczny za wszelką pomoc.

-- 23 cze 2010, o 16:54 --

Ktoś? Coś? Bardzo proszę.

-- 25 cze 2010, o 11:25 --

Bardzo proszę, by ktoś sprawdził poprawność:

Założenia: (G,+) - grupa, R - Relacja równoważności
Teza: R jest zgodna z działaniem w grupie \(\displaystyle{ <=>}\) \(\displaystyle{ (aRb \Leftrightarrow a-b\inH}\), H - podgrupa niezmiennicza G\(\displaystyle{ )}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ H:= \left[ 0\right]_{R}}\)
sprawdzam czy H = a+H-a
\(\displaystyle{ b\inH \Rightarrow bR0 \Rightarrow \left[ b\right] = \left[ 0\right]
a\inG \Rightarrow aRa}\)
ze zgodności:
\(\displaystyle{ (a+b)Ra \Rightarrow a+b-a\inH \Rightarrow \left[ a+b-a\right] = H}\)
ale z dowolności b:
\(\displaystyle{ a+H-a=H}\)
czyli H jest niezmiennicza

\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
\(\displaystyle{ aRb \Leftrightarrow a-b\inH
cRd \Leftrightarrow c-d\inH}\)
ponieważ H jest grupą:
\(\displaystyle{ a-b+c-d\inH}\)
z przemienności działania w podgrupie niezmienniczej:
\(\displaystyle{ (a+c)-(b+d)\inH}\)
a to jest równoważne:
\(\displaystyle{ (a+c)R(b+d)}\)
co kończy dowód.


Moja autorska improwizacja i bardzo chciałbym wiedzieć czy ma to ręce albo nogi albo cokolwiek...-- 25 cze 2010, o 11:27 --poucianło znaczego należy do H a zedytować posta nie można...